Чтобы разложить квадратное уравнение (-9x^2 + 12x - 4) на множители с использованием дискриминанта, давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Записать уравнение в стандартной форме
Квадратное уравнение имеет вид:
[ ax^2 + bx + c = 0 ]
где ( a = -9 ), ( b = 12 ), ( c = -4 ).
Шаг 2: Вычислить дискриминант
Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[ D = b^2 - 4ac ]
Подставим значения:
[ D = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) ]
[ D = 144 - 144 ]
[ D = 0 ]
Шаг 3: Определить количество корней
Так как дискриминант равен нулю (( D = 0 )), то у нас есть один двойной корень.
Шаг 4: Найти корень
Корень квадратного уравнения можно найти по формуле:
[ x = \frac{-b}{2a} ]
Подставим значения:
[ x = \frac{-12}{2 \cdot (-9)} ]
[ x = \frac{-12}{-18} ]
[ x = \frac{2}{3} ]
Шаг 5: Записать разложение на множители
Если у нас один двойной корень, то квадратное уравнение можно разложить следующим образом:
[ a(x - r)^2 ]
где ( r ) — это корень уравнения.
Таким образом, разложение будет:
[ -9 \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 ]
Шаг 6: Привести к стандартной форме
Чтобы записать окончательно, мы можем умножить и привести к стандартному виду:
[ -9 \left( x - \frac{2}{3} \right)^2 = -9 \left( x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} \right) ]
[ = -9x^2 + 12x - 4 ]
Итог
Таким образом, конечный ответ:
[
-9x^2 + 12x - 4 = -9\left( x - \frac{2}{3} \right)^2
]
Это и есть разложение квадратного трёхчлена на множители.
