В треугольнике ABC угол C равен 90°, M – середина стороны AB, AB = 76, BC = 46. Найдите CM.

Чтобы найти длину отрезка \( CM \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где угол \( C \) равен 90°, давайте используем множество геометрических концепций и теорем.

Шаг 1: Определим структуру треугольника

В прямоугольном треугольнике \( ABC \):

• Угол \( C \) равен 90°
• Длина \( AB \) (гипотенуза) равна 76
• Длина \( BC \) равна 46

Сначала определим длину стороны \( AC \) с помощью теоремы Пифагора.

Шаг 2: Найдем сторону \( AC \)

При помощи теоремы Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения: \[ 76^2 = AC^2 + 46^2 \]

Посчитаем квадраты: \[ 5776 = AC^2 + 2116 \]

Теперь выразим \( AC^2 \): \[ AC^2 = 5776 - 2116 = 3660 \]

Таким образом: \[ AC = \sqrt{3660} \]

Теперь вычислим \( AC \): \[ AC \approx 60.5 \]

Шаг 3: Найдем координаты точек

Для удобства давайте разместим треугольник на координатной плоскости:

• Пусть точка \( C(0, 0) \)
• Точка \( B(0, 46) \) (находится вертикально над \( C \))
• Точка \( A(60.5, 0) \) (находится горизонтально от \( C \))

Теперь найдем середину \( M \) стороны \( AB \).

Шаг 4: Определим координаты точки \( M \)

Координаты точки \( M \) (середина отрезка \( AB \)) вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка: \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]

Где:

• \( A(60.5, 0) \)
• \( B(0, 46) \)

Теперь подставим координаты: \[ M\left(\frac{60.5 + 0}{2}, \frac{0 + 46}{2}\right) = M(30.25, 23) \]

Шаг 5: Найдем длину отрезка \( CM \)

Теперь можем найти длину отрезка \( CM \) с помощью формулы для расстояния между двумя точками в координатной плоскости: \[ CM = \sqrt{(x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2} \]

Подставим наши координаты: \[ CM = \sqrt{(30.25 - 0)^2 + (23 - 0)^2} \] \[ = \sqrt{30.25^2 + 23^2} \]

Теперь посчитаем квадраты: \[ = \sqrt{915.0625 + 529} \] \[ = \sqrt{1444.0625} \] \[ \approx 38 \]

Ответ

Таким образом, длина отрезка \( CM \) приблизительно равна \( 38 \).