Чтобы решить задачу о вероятности выпадения двойки на кубике, давайте проанализируем ситуацию и используем биномиальное распределение.
Шаг 1: Определим параметры задачи
Кубик бросают 5 раз, и нас интересует вероятность получения 3 раз двойки. Обозначим:
- ( n = 5 ) (число бросков кубика),
- ( k = 3 ) (число успешных исходов, то есть выпадение двойки),
- ( p = \frac{1}{6} ) (вероятность того, что при одном броске выпадает двойка).
Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности при биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) - биномиальный коэффициент, который считается как ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( p^k ) - вероятность успеха возведенная в степень ( k ),
- ( (1-p)^{n-k} ) - вероятность неуспеха.
Шаг 3: Подставим значения в формулу
- Вычислим биномиальный коэффициент ( \binom{5}{3} ):
[
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
- Подставим значения в формулу:
Теперь можем подставить все в формулу:
[
P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{216}\right) \cdot \left(\frac{25}{36}\right)
]
Шаг 4: Упростим результат
Теперь произведем все вычисления:
[
P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{10 \cdot 25}{216 \cdot 36} = \frac{250}{7776}
]
Шаг 5: Переведем в десятичную дробь
Теперь посчитаем значение ( \frac{250}{7776} ) и округлим до тысячных:
[
\frac{250}{7776} \approx 0.03215
]
Округляя до тысячных, получаем:
[
P(X = 3) \approx 0.032
]
Ответ
Вероятность того, что двойка выпала 3 раза при 5 бросках кубика, составляет примерно 0.032 (округлено до тысячных).
