Кубик бросают 5 раз. Случайная величина Z представляет собой количество раз, когда на кубике выпала двойка. Найди вероятность того, что Д = 3. (Ответ округли до тысячных.)
Чтобы решить задачу о вероятности выпадения двойки на кубике, давайте проанализируем ситуацию и используем биномиальное распределение.
Шаг 1: Определим параметры задачи
Кубик бросают 5 раз, и нас интересует вероятность получения 3 раз двойки. Обозначим:
- \( n = 5 \) (число бросков кубика),
- \( k = 3 \) (число успешных исходов, то есть выпадение двойки),
- \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность того, что при одном броске выпадает двойка).
Шаг 2: Используем формулу биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности при биномиальном распределении выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( \binom{n}{k} \) - биномиальный коэффициент, который считается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p^k \) - вероятность успеха возведенная в степень \( k \),
- \( (1-p)^{n-k} \) - вероятность неуспеха.
Шаг 3: Подставим значения в формулу
- Вычислим биномиальный коэффициент \( \binom{5}{3} \):
\[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
- Подставим значения в формулу:
\( p^k = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \)
\( (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{5-3} = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \)
Теперь можем подставить все в формулу:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{216}\right) \cdot \left(\frac{25}{36}\right) \]
Шаг 4: Упростим результат
Теперь произведем все вычисления:
\[ P(X = 3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{10 \cdot 25}{216 \cdot 36} = \frac{250}{7776} \]
Шаг 5: Переведем в десятичную дробь
Теперь посчитаем значение \( \frac{250}{7776} \) и округлим до тысячных:
\[ \frac{250}{7776} \approx 0.03215 \]
Округляя до тысячных, получаем:
\[ P(X = 3) \approx 0.032 \]
Ответ
Вероятность того, что двойка выпала 3 раза при 5 бросках кубика, составляет примерно 0.032 (округлено до тысячных).
