Чтобы решить уравнение
[
\frac{x^2}{x+3} = \frac{2x + 3}{x + 3},
]
первым шагом мы можем избавиться от дробей, перемножив обе стороны уравнения на (x + 3), при условии, что (x + 3 \neq 0) (т.е. (x \neq -3)):
[
x^2 = 2x + 3.
]
Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:
[
x^2 - 2x - 3 = 0.
]
Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя формулу нахождения корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
]
где (a = 1), (b = -2), (c = -3):
[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
]
Таким образом, получаем два корня:
- (x = \frac{6}{2} = 3)
- (x = \frac{-2}{2} = -1)
Теперь проверим, подходят ли найденные корни под начальные условия, то есть не равны ли они (-3):
- При (x = 3): выражение определено.
- При (x = -1): выражение определено.
Таким образом, решение уравнения:
[
x = 3 \quad \text{и} \quad x = -1.
]
