Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Расстояние от города A до города B: ( S = 112 ) км.
- Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B будет ( v ) км/ч.
- На обратном пути скорость увеличилась на 9 км/ч, то есть скорость на пути из B в A будет ( v + 9 ) км/ч.
- Велосипедист сделал остановку на 4 часа на обратном пути.
- Время, затраченное на обратный путь, равно времени на путь из A в B.
Сначала найдем время, которое велосипедист затратил на поездку из A в B.
Шаг 1: Рассчитаем время в пути из A в B
Время, затраченное на путь из A в B:
[
t_1 = \frac{S}{v} = \frac{112}{v}
]
Шаг 2: Рассчитаем время в пути из B в A
Время, затраченное на путь из B в A, включает время в пути и время остановки:
[
t_2 = \frac{S}{v + 9} + 4 = \frac{112}{v + 9} + 4
]
Шаг 3: Установим равенство времен
Согласно условию задачи, время в пути из A в B равно времени в пути из B в A:
[
\frac{112}{v} = \frac{112}{v + 9} + 4
]
Шаг 4: Решим это уравнение
Решим уравнение:
- Умножим обе стороны на ( v(v + 9) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
112(v + 9) = 112v + 4v(v + 9)
]
- Раскроем скобки:
[
112v + 1008 = 112v + 4v^2 + 36v
]
- Упростим:
[
1008 = 4v^2 + 36v
]
- Переносим все на одну сторону:
[
4v^2 + 36v - 1008 = 0
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Разделим уравнение на 4:
[
v^2 + 9v - 252 = 0
]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 9 ), ( c = -252 ).
- Находим дискриминант:
[
D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089
]
- Находим корни:
[
v = \frac{-9 \pm \sqrt{1089}}{2}
]
(\sqrt{1089} = 33), поэтому:
[
v = \frac{-9 + 33}{2} = \frac{24}{2} = 12
]
или
[
v = \frac{-9 - 33}{2} = \frac{-42}{2} = -21 \quad (\text{негативное значение не подходит})
]
Ответ
Скорость велосипедиста на пути из A в B составляет ( 12 ) км/ч.
