8.66. Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в 3 раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком ко- лене расположен на расстоянии 1 - 30 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медлен- но доверху залить водой?
-
5.3.1. Гидравлический пресс должен развить силу 2,7-105 Н. Диаметр малого поршня равен 3 см, большого поршня - 90 см. Какую силу надо приложить к малому поршню? 5.3.2. Малый поршень гидравлической машины опустился под действием силы 100 Н на 8 см. На какую высоту поднялся больший поршень, если его вес вместе с грузом равен 1,6 кН?
5.3.3. Малый поршень гидравлической машины опустился под действием силы 150 Н на 8 см, а больший поднялся на 1 см. Какая сила действовала на больший поршень? 5.3.4. Малый поршень гидравлического пресса площадью 2 см2 под действием силы опустился на 16 см. Площадь большего поршня 8 см3. Определите: а) вес груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила 200 Н; б) на какую высоту поднялся груз.
## Задача 8.66
**Условие:** Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в 3 раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком колене расположен на расстоянии 130 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медленно доверху залить водой?
### Решение:
1. **Определим площади сечений сосуда:**
Пусть \( S \) — площадь сечения правого колена, тогда площадь сечения левого \( S_1 = \frac{S}{3} \).
2. **Применение принципа сообщающихся сосудов:**
Когда мы заливаем воду в левое колено, уровень ртути в правом колене должен изменяться, чтобы уровень ртути в обоих коленах уравновешивался.
3. **Обозначим изменения уровней:**
Пусть уровень ртути в правом колене поднимется на \( h \) см. Тогда уровень ртути в левом колене опустится на \( h' \) см.
4. С учетом того, что объем воды, добавленный в левое колено, равен объему, который поднял ртуть в правом колене:
\[
S_1 \cdot (h' + 130) = S \cdot h
\]
Подставим значения:
\[
\frac{S}{3} \cdot (h' + 130) = S \cdot h
\]
5. **Упрощение уравнения:**
Убираем \( S \) (при условии, что \( S \) не равно нулю):
\[
\frac{1}{3} (h' + 130) = h
\]
6. **Формула отношения высот:**
Теперь у нас есть отношение высот. Если залить весь объем воды, уровень ртути в левом колене поднимется на 130 см, а в правом соответственно на:
\[
h = \frac{1}{3} \cdot 130 = \frac{130}{3} \approx 43.33 \text{ см}
\]
Таким образом, уровень ртути в правом колене поднимется примерно на 43.33 см.
## Задачи из Гидравлики
### Задача 5.3.1:
**Условие:** Гидравлический пресс должен развить силу \( F = 2,7 \cdot 10^5 \) Н. Диаметр малого поршня равен 3 см, большого поршня - 90 см. Какую силу надо приложить к малому поршню?
### Решение:
1. **Сначала найдём радиусы:**
\[
r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1,5 \text{ см} = 0,015 \text{ м}
\]
\[
r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{90 \text{ см}}{2} = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м}
\]
2. **Площадь поршней:**
\[
S_1 = \pi r_1^2 = \pi (0,015)^2 \approx 0,0007069 \text{ м}^2
\]
\[
S_2 = \pi r_2^2 = \pi (0,45)^2 \approx 0,636 \text{ м}^2
\]
3. **Применяем закон Паскаля:**
\[
\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}
\]
4. **Подставляем известные значения:**
\[
\frac{F_1}{0,0007069} = \frac{2,7 \cdot 10^5}{0,636}
\]
5. **Решим уравнение для \( F_1 \):**
\[
F_1 = \frac{2,7 \cdot 10^5 \cdot 0,0007069}{0,636} \approx 300 \text{ Н}
\]
### Задача 5.3.2:
**Условие:** Малый поршень гидравлической машины опустился под действием силы 100 Н на 8 см. На какую высоту поднялся больший поршень, если его вес вместе с грузом равен 1,6 кН?
1. Сначала преобразуем вес большего поршня в ньютоны:
\[
F_2 = 1,6 \cdot 10^3 \text{ Н}
\]
2. **Применяя закон Паскаля:**
\[
F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2
\]
где \( h_1 = 0,08 \) м.
3. **Подставляем известные значения:**
\[
100 \cdot 0,08 = 1600 \cdot h_2
\]
4. **Решаем уравнение для \( h_2 \):**
\[
h_2 = \frac{100 \cdot 0,08}{1600} = \frac{8}{1600} = 0,005 \text{ м} = 5 \text{ см}
\]
### Задача 5.3.3:
**Условие:** Малый поршень гидравлической машины опустился под действием силы 150 Н на 8 см, а больший поднялся на 1 см. Какая сила действовала на больший поршень?
1. Применяя закон Паскаля:
\[
F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2
\]
где \( F_1 = 150 \text{ Н} \), \( h_1 = 0,08 \text{ м} \), \( h_2 = 0,01 \text{ м} \).
2. Подставляем известные значения:
\[
150 \cdot 0,08 = F_2 \cdot 0,01
\]
3. Решаем уравнение для \( F_2 \):
\[
F_2 = \frac{150 \cdot 0,08}{0,01} = \frac{12}{0,01} = 1200 \text{ Н}
\]
### Задача 5.3.4:
**Условие:** Малый поршень гидравлического пресса площадью 2 см² под действием силы 200 Н опустился на 16 см. Площадь большего поршня 8 см². Определите:
а) вес груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила 200 Н;
б) на какую высоту поднялся груз.
**а) Найдем вес груза:**
1. **Сначала найдем площадь:**
\[
S_1 = 2 \text{ см}^2 = 0,0002 \text{ м}^2, \quad S_2 = 8 \text{ см}^2 = 0,0008 \text{ м}^2
\]
2. **Применяем закон Паскаля:**
\[
F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2
\]
3. **У нас есть известные значения:**
\[
200 \cdot 0,16 = F_2 \cdot h_2
\]
\( h_1 = 0,16 \) м.
4. **Упрощаем для \( F_2 \):**
\[
F_2 \cdot h_2 = 32
\]
**б) На какую высоту поднялся груз:**
когда малый поршень опустился на 16 см, большой поднялся на
\[
h_2 = 0,16 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 0,16 \cdot \frac{2}{8} = 0,16 \cdot \frac{1}{4} = 0,04 \text{ м} = 4 \text{ см}
\]
Таким образом, груз поднялся на 4 см, а его вес равен 400 Н (из условия задачи).
Все вычисления были выполнены в соответствии с законами гидравлики и принципами физики, используемыми в гидравлических системах.
