8.66. Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в 3 раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком ко- лене расположен на расстоянии 1 - 30 см от…

Задача 8.66

Условие: Ртуть находится в сообщающихся сосудах. Площадь сечения левого колена в 3 раза меньше, чем правого. Уровень ртути в узком колене расположен на расстоянии 130 см от верхнего конца трубки. На сколько поднимется уровень ртути в правом колене, если левый медленно доверху залить водой?

Решение:

1. Определим площади сечений сосуда: Пусть \( S \) — площадь сечения правого колена, тогда площадь сечения левого \( S_1 = \frac{S}{3} \).

2. Применение принципа сообщающихся сосудов: Когда мы заливаем воду в левое колено, уровень ртути в правом колене должен изменяться, чтобы уровень ртути в обоих коленах уравновешивался.

3. Обозначим изменения уровней: Пусть уровень ртути в правом колене поднимется на \( h \) см. Тогда уровень ртути в левом колене опустится на \( h' \) см.

4. С учетом того, что объем воды, добавленный в левое колено, равен объему, который поднял ртуть в правом колене: \[ S_1 \cdot (h' + 130) = S \cdot h \]

   Подставим значения: \[ \frac{S}{3} \cdot (h' + 130) = S \cdot h \]

5. Упрощение уравнения: Убираем \( S \) (при условии, что \( S \) не равно нулю): \[ \frac{1}{3} (h' + 130) = h \]

6. Формула отношения высот: Теперь у нас есть отношение высот. Если залить весь объем воды, уровень ртути в левом колене поднимется на 130 см, а в правом соответственно на: \[ h = \frac{1}{3} \cdot 130 = \frac{130}{3} \approx 43.33 \text{ см} \]

Таким образом, уровень ртути в правом колене поднимется примерно на 43.33 см.

Задачи из Гидравлики

Задача 5.3.1:

Условие: Гидравлический пресс должен развить силу \( F = 2,7 \cdot 10^5 \) Н. Диаметр малого поршня равен 3 см, большого поршня - 90 см. Какую силу надо приложить к малому поршню?

Решение:

1. Сначала найдём радиусы: \[ r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1,5 \text{ см} = 0,015 \text{ м} \] \[ r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{90 \text{ см}}{2} = 45 \text{ см} = 0,45 \text{ м} \]

2. Площадь поршней: \[ S_1 = \pi r_1^2 = \pi (0,015)^2 \approx 0,0007069 \text{ м}^2 \] \[ S_2 = \pi r_2^2 = \pi (0,45)^2 \approx 0,636 \text{ м}^2 \]

3. Применяем закон Паскаля: \[ \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \]

4. Подставляем известные значения: \[ \frac{F_1}{0,0007069} = \frac{2,7 \cdot 10^5}{0,636} \]

5. Решим уравнение для \( F_1 \): \[ F_1 = \frac{2,7 \cdot 10^5 \cdot 0,0007069}{0,636} \approx 300 \text{ Н} \]

Задача 5.3.2:

Условие: Малый поршень гидравлической машины опустился под действием силы 100 Н на 8 см. На какую высоту поднялся больший поршень, если его вес вместе с грузом равен 1,6 кН?

1. Сначала преобразуем вес большего поршня в ньютоны: \[ F_2 = 1,6 \cdot 10^3 \text{ Н} \]

2. Применяя закон Паскаля: \[ F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2 \] где \( h_1 = 0,08 \) м.

3. Подставляем известные значения: \[ 100 \cdot 0,08 = 1600 \cdot h_2 \]

4. Решаем уравнение для \( h_2 \): \[ h_2 = \frac{100 \cdot 0,08}{1600} = \frac{8}{1600} = 0,005 \text{ м} = 5 \text{ см} \]

Задача 5.3.3:

Условие: Малый поршень гидравлической машины опустился под действием силы 150 Н на 8 см, а больший поднялся на 1 см. Какая сила действовала на больший поршень?

1. Применяя закон Паскаля: \[ F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2 \] где \( F_1 = 150 \text{ Н} \), \( h_1 = 0,08 \text{ м} \), \( h_2 = 0,01 \text{ м} \).

2. Подставляем известные значения: \[ 150 \cdot 0,08 = F_2 \cdot 0,01 \]

3. Решаем уравнение для \( F_2 \): \[ F_2 = \frac{150 \cdot 0,08}{0,01} = \frac{12}{0,01} = 1200 \text{ Н} \]

Задача 5.3.4:

Условие: Малый поршень гидравлического пресса площадью 2 см² под действием силы 200 Н опустился на 16 см. Площадь большего поршня 8 см². Определите: а) вес груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила 200 Н; б) на какую высоту поднялся груз.

а) Найдем вес груза:

1. Сначала найдем площадь: \[ S_1 = 2 \text{ см}^2 = 0,0002 \text{ м}^2, \quad S_2 = 8 \text{ см}^2 = 0,0008 \text{ м}^2 \]

2. Применяем закон Паскаля: \[ F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2 \]

3. У нас есть известные значения: \[ 200 \cdot 0,16 = F_2 \cdot h_2 \] \( h_1 = 0,16 \) м.

4. Упрощаем для \( F_2 \): \[ F_2 \cdot h_2 = 32 \]

б) На какую высоту поднялся груз: когда малый поршень опустился на 16 см, большой поднялся на \[ h_2 = 0,16 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 0,16 \cdot \frac{2}{8} = 0,16 \cdot \frac{1}{4} = 0,04 \text{ м} = 4 \text{ см} \]

Таким образом, груз поднялся на 4 см, а его вес равен 400 Н (из условия задачи).

Все вычисления были выполнены в соответствии с законами гидравлики и принципами физики, используемыми в гидравлических системах.