Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Сфера проходит через вершины треугольника MNK.
- Расстояние от центра сферы до плоскости MNK равно 411.
- Стороны треугольника MNK равны 24, 40 и 32.
Цель:
Найти радиус сферы.
Шаг 1: Найдем полупериметр треугольника
Сначала нужно вычислить полупериметр треугольника MNK. Полупериметр (p) вычисляется по формуле:
[
p = \frac{a + b + c}{2}
]
где (a), (b) и (c) — длины сторон треугольника.
В нашем случае:
- (a = 24)
- (b = 40)
- (c = 32)
Таким образом:
[
p = \frac{24 + 40 + 32}{2} = \frac{96}{2} = 48
]
Шаг 2: Найдем площадь треугольника
Для нахождения площади треугольника будем использовать формулу Герона:
[
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}
]
Теперь подставим значения:
- (p = 48)
- (a = 24)
- (b = 40)
- (c = 32)
Вычислим:
[
S = \sqrt{48(48 - 24)(48 - 40)(48 - 32)} = \sqrt{48 \cdot 24 \cdot 8 \cdot 16}
]
Сделаем промежуточные вычисления:
[
48 \cdot 24 = 1152
]
[
8 \cdot 16 = 128
]
Теперь найдем произведение:
[
S = \sqrt{1152 \cdot 128}
]
Теперь вычислим это значение:
[
1152 \cdot 128 = 147456
]
Таким образом, площадь треугольника:
[
S = \sqrt{147456} = 384
]
Шаг 3: Вычислим радиус описанной сферы
Радиус описанной сферы (R) вычисляется по формуле:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
Подставим значения:
- (a = 24)
- (b = 40)
- (c = 32)
- (S = 384)
Вычислим произведение:
[
abc = 24 \cdot 40 \cdot 32
]
Посчитаем:
[
24 \cdot 40 = 960
]
Далее:
[
960 \cdot 32 = 30720
]
Теперь подставим в формулу для R:
[
R = \frac{30720}{4 \cdot 384} = \frac{30720}{1536}
]
Посчитаем:
[
R = 20
]
Шаг 4: Итоговое решение
Теперь, зная радиус описанной сферы, добавим расстояние от центра сферы до плоскости треугольника:
[
R' = R + d
]
где (d = 411). Таким образом:
[
R' = 20 + 411 = 431
]
Ответ:
Радиус сферы равен 431.
