Чтобы решить задачу о правильной четырёхугольной пирамиде, давайте разберёмся с её особенностями и формулами.
Дано:
- Сторона основания (квадрат) равна 10.
- Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45 градусов.
1. Найдём высоту четырёхугольной пирамиды
Сначала нам нужно определить высоту пирамиды. Поскольку боковое ребро наклонено под углом 45 градусов, мы можем использовать понятие прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром.
Половина стороны основания:
( \frac{10}{2} = 5 )
Высота:
Пусть ( h ) — высота пирамиды. В соответствии с углом 45°:
- Противоположная сторона (высота) = ( 5 )
- Прилагающая сторона (боковое ребро) = ( h / \sin(45°) = h / \frac{\sqrt{2}}{2} = h \frac{\sqrt{2}}{2} )
Из равенства треугольника:
[ h = 5 ]
2. Сторона бокового ребра
Теперь, зная высоту, можно найти длину бокового ребра (обозначим его ( l )):
[ l = \sqrt{h^2 + 5^2} ]
[ l = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]
3. Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды состоит из четырёх треугольников (боковые грани). Площадь одной боковой грани ( S_{бок} ) равна:
[
S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
]
Где основание равняется стороне основания (10), а высота — высоте треугольника. Для нахождения высоты бокового треугольника используется формула:
[ h_{тр} = \sqrt{(l^2 - (5)^2)} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - 5^2} = \sqrt{50 - 25} = \sqrt{25} = 5 ]
Теперь площадь одной боковой грани:
[
S_{бок_{одн}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25
]
Поскольку боковых граней 4:
[
S_{бок} = 4 \times 25 = 100
]
4. Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности ( S_{пол} ) равна площади основания плюс площадь боковой поверхности:
[
S_{пол} = S_{основание} + S_{бок}
]
Площадь основания (квадрата):
[
S_{основание} = 10 \times 10 = 100
]
Теперь подставляем:
[
S_{пол} = 100 + 100 = 200
]
Ответ:
- Площадь боковой поверхности: 100.
- Площадь полной поверхности: 200.
