1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окруж ности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см,…

Давайте рассмотрим все три задачи по порядку и объясним каждую с пошаговым решением.

Задача 1: Площадь круга и длина окружности

Дано: Сторона квадрата, описанного около круга, равна 6 см.

1. Определяем радиус круга.

   • Квадрат описан около круга, значит радиус круга равен половине длины стороны квадрата: \[ r = \frac{6 \, \text{см}}{2} = 3 \, \text{см}. \]

2. Находим площадь круга.

   • Площадь круга рассчитывается по формуле: \[ S = \pi r^2. \]
   • Подставляя значение радиуса: \[ S = \pi (3 \, \text{см})^2 = 9\pi \, \text{см}^2 \approx 28.27 \, \text{см}^2. \]

3. Находим длину окружности.

   • Длина окружности (периметр круга) вычисляется по формуле: \[ L = 2\pi r. \]
   • Подставляя значение радиуса: \[ L = 2\pi (3 \, \text{см}) = 6\pi \, \text{см} \approx 18.85 \, \text{см}. \]

Ответ: Площадь круга приблизительно 28.27 см², длина окружности приблизительно 18.85 см.

Задача 2: Длина дуги и площадь сектора

Дано: Радиус окружности равен 10 см, градусная мера дуги равна 150°.

1. Находим длину дуги.

   • Длина дуги \((L)\) вычисляется по формуле: \[ L = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi r, \] где \(\theta\) — градусная мера дуги.
   • Подставляя значения: \[ L = \frac{150°}{360°} \cdot 2\pi (10 \, \text{см}) = \frac{5}{12} \cdot 20\pi \, \text{см} = \frac{100\pi}{12} \approx 26.18 \, \text{см}. \]

2. Находим площадь сектора.

   • Площадь сектора \((S)\) рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2. \]
   • Подставляя значения: \[ S = \frac{150°}{360°} \cdot \pi (10 \, \text{см})^2 = \frac{5}{12} \cdot 100\pi \, \text{см}^2 = \frac{500\pi}{12} \approx 130.9 \, \text{см}^2. \]

Ответ: Длина дуги приблизительно 26.18 см, площадь соответствующего сектора приблизительно 130.9 см².

Задача 3: Периметр правильного пятиугольника

Дано: Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм.

1. Найдите сторону квадрата.

   • Периметр квадрата \(P\) равен \(4s\), где \(s\) — сторона квадрата: \[ 4s = 16 \Rightarrow s = \frac{16}{4} = 4 \, \text{дм}. \]

2. Определяем радиус окружности.

   • Радиус \(r\) круга равен половине стороны квадрата: \[ r = \frac{s}{2} = \frac{4 \, \text{дм}}{2} = 2 \, \text{дм}. \]

3. Находим периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.

   • Периметр вписанного пятиугольника можно вычислить по формуле: \[ P_{5-уг} = 5 \cdot a, \] где \(a\) — длина стороны пятиугольника. Длину стороны можно найти через радиус: \[ a = r \cdot \sqrt{2(1 - \cos(\frac{360°}{5}))}. \]
   • Для нахождения значения \(\cos(\frac{360°}{5})\): \[ \cos(\frac{360°}{5}) = \cos(72°) \approx 0.309. \]
   • Подставляя значение радиуса: \[ a \approx 2 \cdot \sqrt{2(1 - 0.309)} = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 0.691} = 2 \cdot \sqrt{1.382} \approx 2.35 \, \text{дм}. \]

4. Находим периметр пятиугольника: \[ P_{5-уг} = 5 \cdot 2.35 \approx 11.75 \, \text{дм}. \]

Ответ: Периметр правильного пятиугольника приблизительно 11.75 дм.