1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окруж ности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см.
2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответст вующего данной дуге кругового сектора?
3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписан-ного в эту же окружность.
Давайте рассмотрим все три задачи по порядку и объясним каждую с пошаговым решением.
### Задача 1: Площадь круга и длина окружности
**Дано:** Сторона квадрата, описанного около круга, равна 6 см.
1. **Определяем радиус круга.**
- Квадрат описан около круга, значит радиус круга равен половине длины стороны квадрата:
\[
r = \frac{6 \, \text{см}}{2} = 3 \, \text{см}.
\]
2. **Находим площадь круга.**
- Площадь круга рассчитывается по формуле:
\[
S = \pi r^2.
\]
- Подставляя значение радиуса:
\[
S = \pi (3 \, \text{см})^2 = 9\pi \, \text{см}^2 \approx 28.27 \, \text{см}^2.
\]
3. **Находим длину окружности.**
- Длина окружности (периметр круга) вычисляется по формуле:
\[
L = 2\pi r.
\]
- Подставляя значение радиуса:
\[
L = 2\pi (3 \, \text{см}) = 6\pi \, \text{см} \approx 18.85 \, \text{см}.
\]
**Ответ:** Площадь круга приблизительно 28.27 см², длина окружности приблизительно 18.85 см.
---
### Задача 2: Длина дуги и площадь сектора
**Дано:** Радиус окружности равен 10 см, градусная мера дуги равна 150°.
1. **Находим длину дуги.**
- Длина дуги \((L)\) вычисляется по формуле:
\[
L = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi r,
\]
где \(\theta\) — градусная мера дуги.
- Подставляя значения:
\[
L = \frac{150°}{360°} \cdot 2\pi (10 \, \text{см}) = \frac{5}{12} \cdot 20\pi \, \text{см} = \frac{100\pi}{12} \approx 26.18 \, \text{см}.
\]
2. **Находим площадь сектора.**
- Площадь сектора \((S)\) рассчитывается по формуле:
\[
S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi r^2.
\]
- Подставляя значения:
\[
S = \frac{150°}{360°} \cdot \pi (10 \, \text{см})^2 = \frac{5}{12} \cdot 100\pi \, \text{см}^2 = \frac{500\pi}{12} \approx 130.9 \, \text{см}^2.
\]
**Ответ:** Длина дуги приблизительно 26.18 см, площадь соответствующего сектора приблизительно 130.9 см².
---
### Задача 3: Периметр правильного пятиугольника
**Дано:** Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм.
1. **Найдите сторону квадрата.**
- Периметр квадрата \(P\) равен \(4s\), где \(s\) — сторона квадрата:
\[
4s = 16 \Rightarrow s = \frac{16}{4} = 4 \, \text{дм}.
\]
2. **Определяем радиус окружности.**
- Радиус \(r\) круга равен половине стороны квадрата:
\[
r = \frac{s}{2} = \frac{4 \, \text{дм}}{2} = 2 \, \text{дм}.
\]
3. **Находим периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.**
- Периметр вписанного пятиугольника можно вычислить по формуле:
\[
P_{5-уг} = 5 \cdot a,
\]
где \(a\) — длина стороны пятиугольника. Длину стороны можно найти через радиус:
\[
a = r \cdot \sqrt{2(1 - \cos(\frac{360°}{5}))}.
\]
- Для нахождения значения \(\cos(\frac{360°}{5})\):
\[
\cos(\frac{360°}{5}) = \cos(72°) \approx 0.309.
\]
- Подставляя значение радиуса:
\[
a \approx 2 \cdot \sqrt{2(1 - 0.309)} = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot 0.691} = 2 \cdot \sqrt{1.382} \approx 2.35 \, \text{дм}.
\]
4. **Находим периметр пятиугольника:**
\[
P_{5-уг} = 5 \cdot 2.35 \approx 11.75 \, \text{дм}.
\]
**Ответ:** Периметр правильного пятиугольника приблизительно 11.75 дм.
