Из пункта А в пункт В одновременно вниз по течению реки отправились катер и плот. Через 0,5 часа расстояние между катером и плотом составило 10 км, а ещё через 0,5 часа катер…

Для решения задачи начнем с обозначения переменных и анализа условий.

1. Обозначим:

   • \( v_c \) — скорость катера относительно воды (км/ч).
   • \( v_t \) — скорость течения реки (км/ч).
   • \( V = v_c + v_t \) — скорость катера относительно берега (км/ч).
   • \( S = 5 \) часов — время, за которое плот добирается до пункта В.

2. Время, прошедшее с момента старта до момента, когда расстояние между катером и плотом составило 10 км, — 0,5 часа. Значит, через 0,5 часа:

   • Расстояние, пройденное катером: \( 0,5V \)
   • Расстояние, пройденное плотом: \( 0,5v_t \)

3. Поскольку расстояние между катером и плотом через 0,5 часа составило 10 км, мы можем записать уравнение: \[ 0,5V - 0,5v_t = 10 \] Упростим это уравнение: \[ 0,5(v_c + v_t) - 0,5v_t = 10 \] \[ 0,5v_c = 10 \] \[ v_c = 20 \quad (1) \]

4. Теперь мы знаем, что скорость катера относительно воды \( v_c = 20 \) км/ч.

5. Далее, через 1 час (0,5 часа + 0,5 часа) после старта катер добрался до пункта В. Это значит, что время, за которое катер прошел расстояние до пункта В, составило 1 час, и соответственно: \[ S = V \times t, \] где \( t = 1 \) час. Таким образом, \[ S = V \cdot 1 = v_c + v_t \] Значит, расстояние до пункта В: \[ S = 20 + v_t \quad (2) \]

6. Поскольку плот прибыл в пункт В через 5 часов после старта и за это время он прошел то же самое расстояние \( S \), мы можем использовать следующее: \[ S = 5 \cdot v_t \quad (3) \]

7. Теперь мы имеем две записи для \( S \) из уравнений (2) и (3):

   • \( 20 + v_t = 5v_t \)

8. Переносим все члены, содержащие \( v_t \), в одну сторону: \[ 20 = 5v_t - v_t \] \[ 20 = 4v_t \] \[ v_t = 5 \quad (4) \]

9. Итак, скорость течения реки \( v_t = 5 \) км/ч.

Ответ

Скорость течения реки равна 5 км/ч.