Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить данную задачу, давайте начнем с того, что у нас есть данные о налоговых ставках и соответствующих поступлениях в бюджет. Нам нужно установить зависимость между ставкой налога и поступлениями в виде квадратичной функции.
Шаг 1: Определение модели
Пусть \( x \) — это ставка налога (в процентах), а \( P(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков). Мы знаем следующее:
- \( P(10) = 1.3 \)
- \( P(33) = 1.3 \)
- \( P(27) = 1.6 \)
Так как у нас есть три точки, мы можем записать quadraticheskoye уравнение вида:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
Шаг 2: Система уравнений
С помощью данных точек мы можем составить систему уравнений.
- Подставим \( P(10) = 1.3 \):
\[ a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \] \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad \text{(1)} \]
- Подставим \( P(33) = 1.3 \):
\[ a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \] \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad \text{(2)} \]
- Подставим \( P(27) = 1.6 \):
\[ a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \] \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad \text{(3)} \]
Шаг 3: Упрощение уравнений
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Теперь мы можем вычесть (1) из (2) и (3):
- (2) - (1):
\[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + (c - c) = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
- (3) - (1):
\[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + (c - c) = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \]
Теперь у нас есть две новые уравнения: (4) и (5).
Шаг 4: Решение системы (4) и (5)
Можно выразить \( b \) через \( a \) из уравнения (4):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим \( b \) в (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Переведем все в одну дробь:
\[ \left( 629 \cdot 23 - 16813 \right)a = 0.3 \cdot 23 \]
Посчитаем:
\[ 14467 - 16813 = -2346 \] Получим:
\[ -2346a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2346} = \frac{-1}{340} \]
Теперь подставляем \( a \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{1}{340}\right) = \frac{989}{7820} \]
Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) в одно из начальных уравнений, например, (1):
\[ 100\left(-\frac{1}{340}\right) + 10\left(\frac{989}{7820}\right) + c = 1.3 \] Решим это уравнение для \( c \).
Шаг 5: Находим максимально возможные поступления
Чтобы найти, где функция достигает максимума, используем формулу для нахождения вершины параболы (квадратичной функции):
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{989}{7820}}{2\left(-\frac{1}{340}\right)} = \frac{989 \cdot 340}{2 \cdot 7820} \]
После упрощения получится максимальное значение для \( x \).
Наконец, мы можем вычислить:
\[ x_{max} \approx 27\% \]
Таким образом, максимальная ставка налога, при которой поступления в бюджет будут максимальными, составляет примерно 27%.
