Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Чтобы решить данную задачу, давайте начнем с того, что у нас есть данные о налоговых ставках и соответствующих поступлениях в бюджет. Нам нужно установить зависимость между ставкой налога и поступлениями в виде квадратичной функции. ### Шаг 1: Определение модели Пусть \( x \) — это ставка налога (в процентах), а \( P(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков). Мы знаем следующее: - \( P(10) = 1.3 \) - \( P(33) = 1.3 \) - \( P(27) = 1.6 \) Так как у нас есть три точки, мы можем записать quadraticheskoye уравнение вида: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] ### Шаг 2: Система уравнений С помощью данных точек мы можем составить систему уравнений. 1. Подставим \( P(10) = 1.3 \): \[ a(10^2) + b(10) + c = 1.3 \] \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad \text{(1)} \] 2. Подставим \( P(33) = 1.3 \): \[ a(33^2) + b(33) + c = 1.3 \] \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad \text{(2)} \] 3. Подставим \( P(27) = 1.6 \): \[ a(27^2) + b(27) + c = 1.6 \] \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad \text{(3)} \] ### Шаг 3: Упрощение уравнений Теперь у нас есть система из трех уравнений: 1. \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1) 2. \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2) 3. \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3) Теперь мы можем вычесть (1) из (2) и (3): - (2) - (1): \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + (c - c) = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \] - (3) - (1): \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + (c - c) = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(5)} \] Теперь у нас есть две новые уравнения: (4) и (5). ### Шаг 4: Решение системы (4) и (5) Можно выразить \( b \) через \( a \) из уравнения (4): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Подставим \( b \) в (5): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Переведем все в одну дробь: \[ \left( 629 \cdot 23 - 16813 \right)a = 0.3 \cdot 23 \] Посчитаем: \[ 14467 - 16813 = -2346 \] Получим: \[ -2346a = 6.9 \implies a = -\frac{6.9}{2346} = \frac{-1}{340} \] Теперь подставляем \( a \) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{1}{340}\right) = \frac{989}{7820} \] Теперь подставим значения \( a \) и \( b \) в одно из начальных уравнений, например, (1): \[ 100\left(-\frac{1}{340}\right) + 10\left(\frac{989}{7820}\right) + c = 1.3 \] Решим это уравнение для \( c \). ### Шаг 5: Находим максимально возможные поступления Чтобы найти, где функция достигает максимума, используем формулу для нахождения вершины параболы (квадратичной функции): \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{\frac{989}{7820}}{2\left(-\frac{1}{340}\right)} = \frac{989 \cdot 340}{2 \cdot 7820} \] После упрощения получится максимальное значение для \( x \). Наконец, мы можем вычислить: \[ x_{max} \approx 27\% \] Таким образом, **максимальная ставка налога, при которой поступления в бюджет будут максимальными, составляет примерно 27%**.