Чтобы вычислить определённый интеграл (\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx), давайте сначала найдем неопределенный интеграл (\int \frac{1}{\sqrt{x}} , dx).
Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл
Интеграл (\frac{1}{\sqrt{x}}) можно выразить как (x^{-1/2}). Теперь применим формулу для интегрирования степени:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
]
В нашем случае (n = -\frac{1}{2}):
[
\int x^{-\frac{1}{2}} , dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C
]
Шаг 2: Применяем пределы интегрирования
Теперь, когда мы нашли неопределенный интеграл, можем подставить пределы 9 и 25:
[
\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx = \left[2\sqrt{x}\right]_{9}^{25}
]
Шаг 3: Подсчитаем значение интеграла
Находясь на верхнем пределе (25):
[
2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10
]
Теперь на нижнем пределе (9):
[
2\sqrt{9} = 2 \times 3 = 6
]
Теперь вычтем результаты:
[
\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx = 10 - 6 = 4
]
Ответ
Таким образом, значение определённого интеграла (\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} , dx = 4).
Если остались вопросы или нужна дополнительная помощь — не стесняйтесь спрашивать!
