вычислите интеграл: integrate 1/(sqrt(x)) dx from 9 to 25

Чтобы вычислить определённый интеграл \(\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\), давайте сначала найдем неопределенный интеграл \(\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx\).

Шаг 1: Найдем неопределенный интеграл

Интеграл \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) можно выразить как \(x^{-1/2}\). Теперь применим формулу для интегрирования степени:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]

В нашем случае \(n = -\frac{1}{2}\):

\[ \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C \]

Шаг 2: Применяем пределы интегрирования

Теперь, когда мы нашли неопределенный интеграл, можем подставить пределы 9 и 25:

\[ \int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \left[2\sqrt{x}\right]_{9}^{25} \]

Шаг 3: Подсчитаем значение интеграла

Находясь на верхнем пределе (25):

\[ 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10 \]

Теперь на нижнем пределе (9):

\[ 2\sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \]

Теперь вычтем результаты:

\[ \int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 10 - 6 = 4 \]

Ответ

Таким образом, значение определённого интеграла \(\int_{9}^{25} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 4\).

Если остались вопросы или нужна дополнительная помощь — не стесняйтесь спрашивать!