Задание 7. В крупном отделе компании 6 человек получают зарплату 75 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 90 тыс. р., 8 человек получают по 125 тыс. р, и 3 человека – по 140 тыс. р.…

Для решения данной задачи начнем с того, чтобы понять, как определяется медиана и как ее можно максимизировать при распределении премий. У нас есть данные о зарплатах сотрудников и имеющаяся сумма премий.

Шаг 1: Вычислить текущие зарплаты сотрудников

У нас есть следующая информация о зарплатах:

• 6 человек получают по 75 тыс. руб.
• 10 человек получают по 90 тыс. руб.
• 8 человек получают по 125 тыс. руб.
• 3 человека получают по 140 тыс. руб.

Запишем все зарплаты в виде списка:

• 6 человек по 75: \(75, 75, 75, 75, 75, 75\)
• 10 человек по 90: \(90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90\)
• 8 человек по 125: \(125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125\)
• 3 человека по 140: \(140, 140, 140\)

Теперь составим полный список зарплат: \[ 75, 75, 75, 75, 75, 75, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 140, 140, 140 \]

Шаг 2: Определить общее количество сотрудников

Общее количество сотрудников: \[ 6 + 10 + 8 + 3 = 27 \]

Шаг 3: Найти медиану

Так как количество сотрудников нечетное (27), медианой будет значение, которое находится на \( \frac{27 + 1}{2} = 14\)-ом месте в отсортированном списке.

Шаг 4: Найти текущее 14-е значение

При сортировке имеем:

1. 6 значений по 75
2. 10 значений по 90
3. 8 значений по 125
4. 3 значения по 140

Мы видим, что до 14-ого места в списке приходят значения 75 и 90. Так что 14-ое значение — это 90.

На данный момент медиана равна 90.

Шаг 5: Оптимальное распределение премий

Теперь нам нужно распределить 215 тыс. руб. так, чтобы максимизировать медиану.

Представим, что

• \(x_1\) — количество премий, добавленное каждой из 6 сотрудников, которые получают по 75 тыс. руб.
• \(x_2\) — количество премий, добавленное каждой из 10 сотрудников, которые получают по 90 тыс. руб.
• \(x_3\) — количество премий, добавленное каждой из 8 сотрудников, которые получают по 125 тыс. руб.
• \(x_4\) — количество премий, добавленное каждой из 3 сотрудников, которые получают по 140 тыс. руб.

Мы знаем, что: \[ 6x_1 + 10x_2 + 8x_3 + 3x_4 = 215 \]

Шаг 6: Максимизация медианы

Для того, чтобы максимизация медианы была успешной, мы должны попытаться сделать так, чтобы 14-ое место стало значением, которое выше 90.

Если мы добавим больше денег к тем, кто получает 125 тыс. и 140 тыс., то медиана повысится. Но мы должны учитывать, что при увеличении зарплат у 3-х самых высоких сотрудников медиана может увеличиться.

Шаг 7: Премия так, чтобы медиана поднялась до 125

Если всем 8 сотрудникам, которые получают по 125 тыс. руб., добавить по 25 тыс. руб., то тогда их зарплата станет 150 тыс. руб., что поднимет медиану.

\[ 8 \times 25 \text{ тыс.} = 200 \text{ тыс.} \]

Это означало бы, что на второй таблице у сотрудников, заниженных до 125, ничто не поменяется (так и останутся 90 и 75) — и, следовательно, допустим, 14-ое значение остается на 90.

Шаг 8: Распределение премий

Таким образом, наиболее оптимальным вариантом будет добавить

1. 15 тыс. к каждому 8 работникам, что необходимо — объем можно удержать в 120 (из 215).
2. Оставшиеся 15 тыс. так, чтобы некоторые серьёзно увеличились — возможно активизировать 1-3 работника на какую-то небольшую премию.

Вывод: Оптимальная медиана

Поэтому самую высокую медиану, которую возможно достичь будет 125 тыс. руб.

Таким образом, наибольшая возможная медианная выплата составит 125 (в тысячах рублей).