Задание 7. В крупном отделе компании 6 человек получают зарплату 75 тыс.р. в месяц, 10 человек получают 90 тыс. р., 8 человек получают по 125 тыс. р, и 3 человека – по 140 тыс. р. Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 215 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.

Для решения данной задачи начнем с того, чтобы понять, как определяется медиана и как ее можно максимизировать при распределении премий. У нас есть данные о зарплатах сотрудников и имеющаяся сумма премий. ### Шаг 1: Вычислить текущие зарплаты сотрудников У нас есть следующая информация о зарплатах: - 6 человек получают по 75 тыс. руб. - 10 человек получают по 90 тыс. руб. - 8 человек получают по 125 тыс. руб. - 3 человека получают по 140 тыс. руб. Запишем все зарплаты в виде списка: - 6 человек по 75: \(75, 75, 75, 75, 75, 75\) - 10 человек по 90: \(90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90\) - 8 человек по 125: \(125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125\) - 3 человека по 140: \(140, 140, 140\) Теперь составим полный список зарплат: \[ 75, 75, 75, 75, 75, 75, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 90, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 140, 140, 140 \] ### Шаг 2: Определить общее количество сотрудников Общее количество сотрудников: \[ 6 + 10 + 8 + 3 = 27 \] ### Шаг 3: Найти медиану Так как количество сотрудников нечетное (27), медианой будет значение, которое находится на \( \frac{27 + 1}{2} = 14\)-ом месте в отсортированном списке. ### Шаг 4: Найти текущее 14-е значение При сортировке имеем: 1. 6 значений по 75 2. 10 значений по 90 3. 8 значений по 125 4. 3 значения по 140 Мы видим, что до 14-ого места в списке приходят значения 75 и 90. Так что 14-ое значение — это 90. На данный момент медиана равна 90. ### Шаг 5: Оптимальное распределение премий Теперь нам нужно распределить 215 тыс. руб. так, чтобы максимизировать медиану. Представим, что - \(x_1\) — количество премий, добавленное каждой из 6 сотрудников, которые получают по 75 тыс. руб. - \(x_2\) — количество премий, добавленное каждой из 10 сотрудников, которые получают по 90 тыс. руб. - \(x_3\) — количество премий, добавленное каждой из 8 сотрудников, которые получают по 125 тыс. руб. - \(x_4\) — количество премий, добавленное каждой из 3 сотрудников, которые получают по 140 тыс. руб. Мы знаем, что: \[ 6x_1 + 10x_2 + 8x_3 + 3x_4 = 215 \] ### Шаг 6: Максимизация медианы Для того, чтобы максимизация медианы была успешной, мы должны попытаться сделать так, чтобы 14-ое место стало значением, которое выше 90. Если мы добавим больше денег к тем, кто получает 125 тыс. и 140 тыс., то медиана повысится. Но мы должны учитывать, что при увеличении зарплат у 3-х самых высоких сотрудников медиана может увеличиться. ### Шаг 7: Премия так, чтобы медиана поднялась до 125 Если всем 8 сотрудникам, которые получают по 125 тыс. руб., добавить по 25 тыс. руб., то тогда их зарплата станет 150 тыс. руб., что поднимет медиану. \[ 8 \times 25 \text{ тыс.} = 200 \text{ тыс.} \] Это означало бы, что на второй таблице у сотрудников, заниженных до 125, ничто не поменяется (так и останутся 90 и 75) — и, следовательно, допустим, 14-ое значение остается на 90. ### Шаг 8: Распределение премий Таким образом, наиболее оптимальным вариантом будет добавить 1. 15 тыс. к каждому 8 работникам, что необходимо — объем можно удержать в 120 (из 215). 2. Оставшиеся 15 тыс. так, чтобы некоторые серьёзно увеличились — возможно активизировать 1-3 работника на какую-то небольшую премию. ### Вывод: Оптимальная медиана Поэтому самую высокую медиану, которую возможно достичь будет 125 тыс. руб. Таким образом, наибольшая возможная медианная выплата составит 125 (в тысячах рублей).