2. На ребре СД прямоугольного параллелепипеда АВСД А,В, С Ді отметили точку М так, что
СМ: МД = 1:3. Найдите угол между прямой В,М и плоскостью ВСС,, если АД= 3V2 см, АВ=12см, СС1=3см.
Для решения задачи найдем координаты всех заданных точек в прямоугольном параллелепипеде.
1. **Определим координаты точек:**
- Пусть \( A (0, 0, 0) \)
- \( B (12, 0, 0) \)
- \( C (12, 3\sqrt{2}, 0) \)
- \( D (0, 3\sqrt{2}, 0) \)
- \( A_1 (0, 0, 3) \)
- \( B_1 (12, 0, 3) \)
- \( C_1 (12, 3\sqrt{2}, 3) \)
- \( D_1 (0, 3\sqrt{2}, 3) \)
2. **Найдем координаты точки M:**
СM:MD = 1:3, это означает, что точка M делит отрезок CD в отношении 1:3. Найдем координаты точки C и D:
- \( C (12, 3\sqrt{2}, 0) \)
- \( D (0, 3\sqrt{2}, 0) \)
Координаты точки M определяются следующим образом:
\[
M = \left( \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{1 + 3}, \frac{3 \cdot 3\sqrt{2} + 1 \cdot 3\sqrt{2}}{1 + 3}, 0 \right) = \left( \frac{12}{4}, \frac{12\sqrt{2}}{4}, 0 \right) = (3, 3\sqrt{2}, 0)
\]
3. **Теперь найдем угол между прямой BM и плоскостью VCS:**
- Вектор BM = M - B = (3 - 12, 3\sqrt{2} - 0, 0 - 0) = (-9, 3\sqrt{2}, 0)
- Вектор нормали плоскости VCS определяется вектором, перпендикулярным плоскости. Вектор BC и вектор AC будут использованы для нахождения нормали.
- Вектор BC = C - B = (12 - 12, 3\sqrt{2} - 0, 0) = (0, 3\sqrt{2}, 0)
- Вектор AC = C - A = (12 - 0, 3\sqrt{2} - 0, 0) = (12, 3\sqrt{2}, 0)
Для нахождения нормали к плоскости VCS, можем использовать векторное произведение \( \vec{BC} \times \vec{AC} \):
\[
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 3\sqrt{2} & 0 \\
12 & 3\sqrt{2} & 0
\end{vmatrix}
= (0, 0, 0 - 0) + (0, 0, 0 - 12 \cdot 3\sqrt{2}) = (0, 0, -12\sqrt{2})
\]
Таким образом, нормаль к плоскости VCS направлена вниз по оси Z.
4. **Вычисляем угол между вектором BM и нормалью**:
\( \cos \theta = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{n}}{|\vec{BM}| |\vec{n}|} \)
\[
\vec{n} = (0, 0, -12\sqrt{2})
\]
\[
\vec{BM} \cdot \vec{n} = (-9, 3\sqrt{2}, 0) \cdot (0, 0, -12\sqrt{2}) = 0
\]
Данный расчет показывает, что угол между вектором BM и нормалью к плоскости равен 90°, следовательно, угол между прямой BM и самой плоскостью VCS также равен 90°.
Таким образом, ответ на вопрос: угол между прямой \( BM \) и плоскостью \( VCS \) равен 90°.
