Вычисли

Давайте решим задачу, связанную с комплексными числами. Нам нужно вычислить \((-\sqrt{3} + i)^{12}\). ### Шаг 1: Найдем модуль и аргумент комплексного числа Дано комплексное число \(z = -\sqrt{3} + i\). Сначала найдем его модуль: \[ |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2. \] Теперь найдем аргумент \(z\). Поскольку \(-\sqrt{3}\) — действительная часть и она отрицательна, а \(i\) — мнимая часть и она положительна, число находится во втором квадранте. Найдём аргумент \(\theta\): \[ \tan \theta = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}. \] Для значений \(\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}\), получаем \(\theta = \frac{5\pi}{6}\), так как полный угол \(\theta\) должен быть во втором квадранте. ### Шаг 2: Представление в показательной форме Теперь запишем число в тригонометрической (показательной) форме: \[ z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) = 2 (\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}). \] В показательной форме это: \[ z = 2 e^{i \frac{5\pi}{6}}. \] ### Шаг 3: Возводим в степень Теперь нужно возвести \(z\) в 12-ю степень: \[ z^{12} = (2 e^{i \frac{5\pi}{6}})^{12} = 2^{12} \cdot \left(e^{i \frac{5\pi}{6}}\right)^{12}. \] \[ 2^{12} = 4096. \] Для показательной части: \[ \left(e^{i \frac{5\pi}{6}}\right)^{12} = e^{i \cdot 12 \cdot \frac{5\pi}{6}} = e^{i \cdot 10\pi} = \cos(10\pi) + i \sin(10\pi). \] Так как \(\cos(10\pi) = 1\) и \(\sin(10\pi) = 0\), то: \[ e^{i \cdot 10\pi} = 1. \] ### Шаг 4: Итоговое решение Таким образом, \((- \sqrt{3} + i)^{12} = 4096 \cdot 1 = 4096\). Ответ: \((-\sqrt{3} + i)^{12} = 4096\).