Для решения задачи, давайте воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрией.
Дано:
- Один катет ( AK = 31\sqrt{3} ) дм
- Угол ( \angle OAK = 30^\circ )
Нам нужно найти второй катет ( KO ) и гипотенузу ( AO ).
Шаг 1: Используем основные тригонометрические соотношения
В прямоугольном треугольнике, если мы знаем один из катетов и угол, можем использовать синусы и косинусы для вычисления других сторон.
- Вспомним определение синуса и косинуса:
- ( \sin(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} )
- ( \cos(\theta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} )
Шаг 2: Нахождение гипотенузы ( AO )
В нашем случае:
- Угол ( \angle OAK = 30^\circ )
- Катет ( AK ) является противолежащим катетом к углу ( \angle OAK ).
По определению синуса:
[
\sin(30^\circ) = \frac{AK}{AO}
]
Зная, что ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), подставим известные значения:
[
\frac{1}{2} = \frac{31\sqrt{3}}{AO}
]
Перепишем уравнение для нахождения гипотенузы:
[
AO = 31\sqrt{3} \cdot 2
]
[
AO = 62\sqrt{3} \quad \text{дм}
]
Шаг 3: Нахождение второго катета ( KO )
Теперь найдем второй катет ( KO ) (прилежащий к углу ( \angle OAK )) с помощью косинуса:
[
\cos(30^\circ) = \frac{KO}{AO}
]
Зная, что ( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), подставим значения:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{KO}{62\sqrt{3}}
]
Перепишем уравнение для нахождения второго катета:
[
KO = 62\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
KO = 62 \cdot \frac{3}{2}
]
[
KO = 93 \quad \text{дм}
]
Ответ
- Второй катет ( KO = 93 ) дм
- Гипотенуза ( AO = 62\sqrt{3} ) дм
Таким образом, мы нашли оба необходимых значения.
