Проводится серия независимых испытаний до тех пор, пока не наступит успех. Вероятность успеха равна p, вероятность неудачи - q. Найдите вероятность того, что успех наступит: а)…
Проводится серия независимых испытаний до тех пор, пока не наступит успех. Вероятность успеха равна p, вероятность неудачи - q. Найдите вероятность того, что успех наступит: а) при третьем испытании; б) при четвертом испытании; в) при третьем или четвертом испытании; г) после третьего испытания; д) до пятого испытания; е) от третьего до пятого испытания. ЗАПИСАТЬ РЕШЕНИЕ САМОСТЯТЕЛЬНО Ответы: а) q2p; б) q3p; в) q2p + q3p; г) q3; д) 1- q4; е) q2p + q3p + q4p;
Давайте разберем задачу, связанная с вероятностями в серии независимых испытаний, до тех пор, пока не произойдет успех. Обозначим:
- \( p \) — вероятность успеха,
- \( q \) — вероятность неудачи, где \( q = 1 - p \).
Для начала рассмотрим каждую из частей задания:
а) Вероятность успеха при третьем испытании
Для того чтобы успех наступил именно на третьем испытании, необходимо, чтобы в первых двух испытаниях были две неудачи, а на третьем — успех.
Формула:
\[
P(\text{успех на 3-ем испытании}) = q^2 \cdot p
\]
б) Вероятность успеха при четвертом испытании
Аналогично, для успеха на четвертом испытании, нам нужно, чтобы в первых трех испытаниях были три неудачи, а на четвертом — успех.
Формула:
\[
P(\text{успех на 4-ом испытании}) = q^3 \cdot p
\]
в) Вероятность успеха при третьем или четвертом испытании
Здесь требуется сложить вероятности успеха при третьем и четвертом испытаниях:
\[ P(\text{успех на 3-ем или 4-ом испытании}) = P(\text{успех на 3-ем}) + P(\text{успех на 4-ом}) = q^2p + q^3p \]
г) Вероятность успеха после третьего испытания
Это означает, что успех должен произойти на четвертом, пятом или последующих испытаниях. Поскольку первое успешное испытание может произойти на любом испытании после третьего:
\[ P(\text{успех после 3-его}) = 1 - P(\text{неудача в первых 3 испытаниях}) = 1 - q^3 \]
д) Вероятность успеха до пятого испытания
Здесь успех может произойти в первом, втором, третьем или четвертом испытаниях. Вероятность неудачи в первых четырех испытаниях — это просто \( q^4 \):
\[ P(\text{успех до 5-ого}) = 1 - P(\text{неудача в первых 4 испытаниях}) = 1 - q^4 \]
е) Вероятность успеха от третьего до пятого испытания
Это сумма вероятностей успеха на третьем, четвертом и пятом испытаниях:
\[ P(\text{успех на 3-ем, 4-ом или 5-ом а)} = q^2p + q^3p + q^4p \]
Ответы
Таким образом, ответы на все части задачи следующие:
- а) \( q^2p \)
- б) \( q^3p \)
- в) \( q^2p + q^3p \)
- г) \( 1 - q^3 \)
- д) \( 1 - q^4 \)
- е) \( q^2p + q^3p + q^4p \)
Если у вас остались вопросы по любой из частей, не стесняйтесь задавать!
