Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количества рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько…

Обозначим количество рыб, пойманных Ваней, Мишей, Аликом и Вадимом как \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) соответственно.

Так как они ловили рыбу в порядке арифметической прогрессии, можем записать:

\[ b - a = c - b = d - c = r, \]

где \( r \) — разность прогрессии. Тогда можно выразить \( b, c, \) и \( d \) через \( a \) и \( r \):

\[ b = a + r, \] \[ c = a + 2r, \] \[ d = a + 3r. \]

Теперь, согласно условию задачи, если Алик поймёт столько же, сколько Вадим, а Вадим поймает на 12 рыб больше, то получится следующее:

Алик поймал \( d \) рыб (по условию), а Вадим \( d + 12 \). Таким образом, новое количество рыб будет:

• Ваня: \( a \)
• Миша: \( b \)
• Алик: \( d \)
• Вадим: \( d + 12 \)

Теперь нам необходимо исследовать, будет ли это образовывать геометрическую прогрессию:

\[ \frac{b}{a} = \frac{d}{b} = \frac{d + 12}{d}. \]

Подставим выражения для \( b \) и \( d \):

1. Поскольку \( b = a + r \) и \( d = a + 3r \), то

\[ \frac{a + r}{a} = \frac{a + 3r}{a + r}. \]

2. Перемножим, чтобы избавиться от дробей:

\[ (a + r)^2 = a(a + 3r). \]

3. Раскроем скобки:

\[ a^2 + 2ar + r^2 = a^2 + 3ar. \]

4. Упростим уравнение, чтобы выразить его в виде:

\[ r^2 - ar = 0. \]

Это уравнение имеет два решения: \( r = 0 \) (что невозможно, поскольку рыба ловится) и \( r = a \). Подставив \( r = a \), получаем:

• \( b = a + a = 2a \)
• \( c = a + 2a = 3a \)
• \( d = a + 3a = 4a \)

Теперь подставим это в новую ситуацию:

Алик = \( 4a \), Вадим = \( 4a + 12 \).

Теперь найдем отношение для геометрической прогрессии:

\[ \frac{2a}{a} = \frac{4a}{2a} = \frac{4a + 12}{4a}. \] Эти дроби упрощаются:

1. Первое равенство: \( 2 \).
2. Второе равенство: \( 2 \).

Теперь упростим третье равенство:

\[ \frac{4a + 12}{4a} = 1 + \frac{12}{4a} = 1 + \frac{3}{a}. \]

Приравняем к 2:

\[ 1 + \frac{3}{a} = 2 \] \[ \frac{3}{a} = 1 \rightarrow a = 3. \]

Теперь можем рассчитать количество рыб, пойманных каждым:

• Ваня \( a = 3 \)
• Миша \( b = 2a = 6 \)
• Алик \( c = 3a = 9 \)
• Вадим \( d = 4a = 12 \)

Теперь можем проверить результат (арифметическая прогрессия):

• \( a = 3 \)
• \( b = 6 \)
• \( c = 9 \)
• \( d = 12 \)

Проверьте: \( 6/3 = 2 \), \( 9/6 = 1.5 \), и последнее: \( \frac{12 + 12}{12} = 2 \).

Ответ: Миша поймал 6 рыб.