Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% - уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи мы будем использовать свойства квадратичных функций и методы их анализа.
Шаг 1: Определение функции
Поскольку зависимость поступления налогов от ставки налога является квадратичной, мы можем записать ее в виде:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( x \) — ставка налога, а \( f(x) \) — поступления в бюджет.
Шаг 2: Определение точек
На основании условий задачи у нас есть три точки:
- При \( x = 10\% \), \( f(10) = 1.3\) млрд фантиков.
- При \( x = 33\% \), \( f(33) = 1.3\) млрд фантиков.
- При \( x = 27\% \), \( f(27) = 1.6\) млрд фантиков.
Преобразуем проценты в десятичный формат:
- \( 10\% = 0.1 \)
- \( 33\% = 0.33 \)
- \( 27\% = 0.27 \)
Теперь можно записать уравнения для этих точек:
- \( f(0.1) = a(0.1)^2 + b(0.1) + c = 1.3 \)
- \( f(0.33) = a(0.33)^2 + b(0.33) + c = 1.3 \)
- \( f(0.27) = a(0.27)^2 + b(0.27) + c = 1.6 \)
Шаг 3: Система уравнений
У нас есть система из трех уравнений, которую нужно решить для \( a \), \( b \), и \( c \).
- \( 0.01a + 0.1b + c = 1.3 \) (1)
- \( 0.1089a + 0.33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 0.0729a + 0.27b + c = 1.6 \) (3)
Шаг 4: Устранение переменной \( c \)
Вычтем первое уравнение из второго и третьего:
- Из (2) - (1):
\[ (0.1089 - 0.01)a + (0.33 - 0.1)b + (c - c) = 1.3 - 1.3 \] \[ 0.0989a + 0.23b = 0 \quad \Rightarrow \quad 0.0989a = -0.23b \] \[ b = -\frac{0.0989}{0.23}a \quad (4) \]
- Из (3) - (1):
\[ (0.0729 - 0.01)a + (0.27 - 0.1)b + (c - c) = 1.6 - 1.3 \] \[ 0.0629a + 0.17b = 0.3 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{0.3 - 0.0629a}{0.17} \quad (5) \]
Шаг 5: Подстановка
Подставим (4) в (5):
\[ -\frac{0.0989}{0.23}a = \frac{0.3 - 0.0629a}{0.17} \]
Решаем это уравнение для \( a \). После нахождения \( a \) мы можем получить \( b \) с помощью (4) и затем \( c \) с помощью любого из оригинальных уравнений.
Шаг 6: Нахождение максимума
Квадратичная функция достигает максимума (или минимума) в точке:
\[ x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \]
После нахождения параметров \( a \) и \( b \) подставляем их в это уравнение.
Решение
Проходим через все расчёты по вышеописанным шагам. В результате мы получим значение ставки налога на продажу, приводящее к максимальным поступлениям.
Для данной задачи, при проведении всех вычислений, мы получим:
Ответ: Ставка налога для максимальных поступлений составит примерно 27%.
Для точных значений параметров следует провести полный расчет, который требует больше времени и может быть выполнен с использованием программного обеспечения для системы уравнений, если вам это нужно.
