Чтобы составить уравнение прямой, параллельной заданной, и проходящей через центр окружности, мы выполним следующие шаги.
Шаг 1: Найдем уравнение прямой
Прямая, заданная в условии, имеет вид (y = -8x - 5). У нас есть наклон (коэффициент перед (x)) равный (-8). Так как прямая, которую мы хотим найти, параллельна этой, она будет иметь тот же наклон (-8).
Шаг 2: Найдем центр окружности
Находим центр окружности, заданной уравнением:
[
x^2 + y^2 - 4x + 6y + 5 = 0
]
Чтобы упростить это уравнение, преобразуем его в стандартный вид. Мы можем сделать это, выделив полный квадрат:
Перепишем и сгруппируем (x) и (y):
[
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) + 5 = 0
]
Завершим квадрат для (x):
[
x^2 - 4x \rightarrow (x-2)^2 - 4
]
Завершим квадрат для (y):
[
y^2 + 6y \rightarrow (y+3)^2 - 9
]
Подставим обратно в уравнение:
[
(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 + 5 = 0
]
Упростим:
[
(x-2)^2 + (y+3)^2 - 8 = 0
]
То есть:
[
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 8
]
Центр окружности находится в точке ((2, -3)).
Шаг 3: Составим уравнение прямой
Теперь нужно составить уравнение прямой с наклоном (-8) и проходящей через точку ((2, -3)). Мы используем уравнение прямой в канонической форме:
[
y - y_1 = m(x - x_1)
]
Где:
- (m = -8) (наклон),
- ((x_1, y_1) = (2, -3)) (координаты точки).
Подставим значения в уравнение:
[
y - (-3) = -8(x - 2)
]
Упростим уравнение:
[
y + 3 = -8x + 16
]
[
y = -8x + 16 - 3
]
[
y = -8x + 13
]
Ответ
Уравнение прямой, параллельной прямой (y = -8x - 5) и проходящей через центр окружности, равно:
[
y = -8x + 13
]
