Найдите угол АC1А1 прямоугольного параллелепипеда, у которого АВ AD = √2, AA1 = 1. Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол \( \angle AC_1A_1 \) в прямоугольном параллелепипеде, начнем с того, что нам известны размеры:

• \( AB = AD = \sqrt{2} \)
• \( AA_1 = 1 \)

Шаг 1: Понимание расположения точек

В прямоугольном параллелепипеде можно обозначить его вершины следующим образом:

• \( A \) — нижний угол (0, 0, 0)
• \( B \) — (√2, 0, 0)
• \( D \) — (0, √2, 0)
• \( A_1 \) — (0, 0, 1)
• \( B_1 \) — (√2, 0, 1)
• \( D_1 \) — (0, √2, 1)
• \( C_1 \)— (√2, √2, 1)

Шаг 2: Найдем векторы

1. Вектор \( AC_1 \): \[ AC_1 = C_1 - A = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) - (0, 0, 0) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) \]

2. Вектор \( A_1C_1 \): \[ A_1C_1 = C_1 - A_1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) - (0, 0, 1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) \]

Шаг 3: Найдем угол между векторами

Угол между двумя векторами можно находить с помощью формулы скалярного произведения: \[ \cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|} \]

Скалярное произведение \( AC_1 \cdot A_1C_1 \):

\[ AC_1 \cdot A_1C_1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) \cdot (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot 0 = 2 + 2 = 4 \]

Модуль векторов:

1. \( |AC_1| \): \[ |AC_1| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 2 + 1} = \sqrt{5} \]

2. \( |A_1C_1| \): \[ |A_1C_1| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \]

Шаг 4: Найдем косинус угла

\[ \cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Шаг 5: Находим угол \( \theta \)

\[ \theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \]

Шаг 6: Переводим в градусы

Теперь вычислим угол в градусах. Используя калькулятор, получаем: \[ \theta \approx 63.43^\circ \]

Ответ

Угол \( \angle AC_1A_1 \) приблизительно равен \( 63.43^\circ \).