Найдите угол АC1А1 прямоугольного параллелепипеда, у которого АВ AD = √2, AA1 = 1. Ответ дайте в градусах.
Чтобы найти угол \( \angle AC_1A_1 \) в прямоугольном параллелепипеде, начнем с того, что нам известны размеры:
- \( AB = AD = \sqrt{2} \)
- \( AA_1 = 1 \)
### Шаг 1: Понимание расположения точек
В прямоугольном параллелепипеде можно обозначить его вершины следующим образом:
- \( A \) — нижний угол (0, 0, 0)
- \( B \) — (√2, 0, 0)
- \( D \) — (0, √2, 0)
- \( A_1 \) — (0, 0, 1)
- \( B_1 \) — (√2, 0, 1)
- \( D_1 \) — (0, √2, 1)
- \( C_1 \)— (√2, √2, 1)
### Шаг 2: Найдем векторы
1. Вектор \( AC_1 \):
\[
AC_1 = C_1 - A = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) - (0, 0, 0) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1)
\]
2. Вектор \( A_1C_1 \):
\[
A_1C_1 = C_1 - A_1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) - (0, 0, 1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)
\]
### Шаг 3: Найдем угол между векторами
Угол между двумя векторами можно находить с помощью формулы скалярного произведения:
\[
\cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A| |B|}
\]
#### Скалярное произведение \( AC_1 \cdot A_1C_1 \):
\[
AC_1 \cdot A_1C_1 = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1) \cdot (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot 0 = 2 + 2 = 4
\]
#### Модуль векторов:
1. \( |AC_1| \):
\[
|AC_1| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 2 + 1} = \sqrt{5}
\]
2. \( |A_1C_1| \):
\[
|A_1C_1| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2
\]
### Шаг 4: Найдем косинус угла
\[
\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot 2} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]
### Шаг 5: Находим угол \( \theta \)
\[
\theta = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)
\]
### Шаг 6: Переводим в градусы
Теперь вычислим угол в градусах. Используя калькулятор, получаем:
\[
\theta \approx 63.43^\circ
\]
### Ответ
Угол \( \angle AC_1A_1 \) приблизительно равен \( 63.43^\circ \).
