В равнобедренном треугольнике ABC , с основанием AC проведена биссектриса AD . Найдите градусную меру ∠ ADC , если ∠ ABC = 8 ∘ .

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) и углом \( \angle ABC = 8^\circ\) можно найти угол \( \angle ADC\). Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны: \[ \angle CAB = \angle ACB. \] Обозначим угол \( \angle CAB = \angle ACB = x\). Тогда сумма углов в треугольнике равна: \[ \angle ABC + \angle CAB + \angle ACB = 180^\circ. \] Подставим известные значения: \[ 8^\circ + x + x = 180^\circ. \] Это можно упростить до: \[ 8^\circ + 2x = 180^\circ. \] Теперь из этого уравнения выразим \(x\): \[ 2x = 180^\circ - 8^\circ = 172^\circ, \] \[ x = \frac{172^\circ}{2} = 86^\circ. \] Таким образом, \( \angle CAB = \angle ACB = 86^\circ\). Теперь нам нужно найти угол \( \angle ADC\). Поскольку \(AD\) — биссектрисa угла \( \angle BAC\), то угол \( \angle BAD\) и угол \( \angle CAD\) равны: \[ \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 86^\circ = 43^\circ. \] Теперь мы можем найти угол \( \angle ADC\): \[ \angle ADC = 180^\circ - \angle BAD - \angle ACD. \] Здесь угол \( \angle ACD\) равен углу \( \angle ABC = 8^\circ\): \[ \angle ADC = 180^\circ - 43^\circ - 8^\circ = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ. \] Таким образом, градусная мера угла \( \angle ADC\) равна \( 129^\circ\).