номер 490 Даны точки A(1;-3),B(4;5),C(-2;-1),D(3;0); найти 1) координаты вектаров ĀB+CD и AB-CD 2.|ĀB+CD|, |AB-CD| Номер 492 Сумма вектаров ā(x;-1) и b(2;y) равна вектора c(-3;4)…

Давайте решим задачи по порядку, начиная с первой.

Задача 490

Даны точки A(1, -3), B(4, 5), C(-2, -1), D(3, 0).

1. Найдем координаты векторов ĀB + CD и AB - CD.

Вектор AB обозначается как \(\vec{AB} = B - A\) и его координаты можно найти по следующей формуле: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

Находим вектор AB:

• Координаты B: (4, 5)
• Координаты A: (1, -3)

\[ \vec{AB} = (4 - 1, 5 - (-3)) = (3, 8) \]

Находим вектор CD: \[ \vec{CD} = D - C \]

• Координаты D: (3, 0)
• Координаты C: (-2, -1)

\[ \vec{CD} = (3 - (-2), 0 - (-1)) = (3 + 2, 0 + 1) = (5, 1) \]

Теперь вычислим \(\vec{ĀB} + \vec{CD}\): \[ \vec{ĀB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{CD} = (3, 8) + (5, 1) = (3 + 5, 8 + 1) = (8, 9) \]

Теперь вычислим \(\vec{AB} - \vec{CD}\): \[ \vec{AB} - \vec{CD} = (3, 8) - (5, 1) = (3 - 5, 8 - 1) = (-2, 7) \]

Ответ:

1. Векторы:

• \(\vec{ĀB} + \vec{CD} = (8, 9)\)
• \(\vec{AB} - \vec{CD} = (-2, 7)\)

2. Найдем длины векторов |ĀB + CD| и |AB - CD|.

Длина вектора \(\vec{v} = (x, y)\) находится по формуле: \[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Длина вектора ĀB + CD: \[ |\vec{ĀB} + \vec{CD}| = |(8, 9)| = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145} \]

Длина вектора AB - CD: \[ |\vec{AB} - \vec{CD}| = |(-2, 7)| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \]

Ответ: 2)

• Длина |ĀB + CD| = \(\sqrt{145}\)
• Длина |AB - CD| = \(\sqrt{53}\)

Задача 492

Дано, что сумма векторов \(\vec{a} = (x, -1)\) и \(\vec{b} = (2, y)\) равна вектору \(\vec{c} = (-3, 4)\).

Уравнение: \[ \vec{a} + \vec{b} = \vec{c} \] или \[ (x, -1) + (2, y) = (-3, 4) \]

Запишем уравнения по координатам:

1. По первой координате: \[ x + 2 = -3 \]

2. По второй координате: \[ -1 + y = 4 \]

Решаем уравнения:

Первое уравнение: \[ x + 2 = -3 \implies x = -3 - 2 \implies x = -5 \]

Второе уравнение: \[ -1 + y = 4 \implies y = 4 + 1 \implies y = 5 \]

Ответ: \(x = -5\), \(y = 5\)

Подводя итог, у нас получились такие решения:

• Для задачи 490: векторы (8, 9) и (-2, 7) с длинами \(\sqrt{145}\) и \(\sqrt{53}\).
• Для задачи 492: \(x = -5\), \(y = 5\).