Давайте решим задачи по порядку, начиная с первой.
Задача 490
Даны точки A(1, -3), B(4, 5), C(-2, -1), D(3, 0).
1. Найдем координаты векторов ĀB + CD и AB - CD.
Вектор AB обозначается как (\vec{AB} = B - A) и его координаты можно найти по следующей формуле:
[
\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)
]
Находим вектор AB:
- Координаты B: (4, 5)
- Координаты A: (1, -3)
[
\vec{AB} = (4 - 1, 5 - (-3)) = (3, 8)
]
Находим вектор CD:
[
\vec{CD} = D - C
]
- Координаты D: (3, 0)
- Координаты C: (-2, -1)
[
\vec{CD} = (3 - (-2), 0 - (-1)) = (3 + 2, 0 + 1) = (5, 1)
]
Теперь вычислим (\vec{ĀB} + \vec{CD}):
[
\vec{ĀB} + \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{CD} = (3, 8) + (5, 1) = (3 + 5, 8 + 1) = (8, 9)
]
Теперь вычислим (\vec{AB} - \vec{CD}):
[
\vec{AB} - \vec{CD} = (3, 8) - (5, 1) = (3 - 5, 8 - 1) = (-2, 7)
]
Ответ:
- Векторы:
- (\vec{ĀB} + \vec{CD} = (8, 9))
- (\vec{AB} - \vec{CD} = (-2, 7))
2. Найдем длины векторов |ĀB + CD| и |AB - CD|.
Длина вектора (\vec{v} = (x, y)) находится по формуле:
[
|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Длина вектора ĀB + CD:
[
|\vec{ĀB} + \vec{CD}| = |(8, 9)| = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}
]
Длина вектора AB - CD:
[
|\vec{AB} - \vec{CD}| = |(-2, 7)| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}
]
Ответ:
2)
- Длина |ĀB + CD| = (\sqrt{145})
- Длина |AB - CD| = (\sqrt{53})
Задача 492
Дано, что сумма векторов (\vec{a} = (x, -1)) и (\vec{b} = (2, y)) равна вектору (\vec{c} = (-3, 4)).
Уравнение:
[
\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}
]
или
[
(x, -1) + (2, y) = (-3, 4)
]
Запишем уравнения по координатам:
По первой координате:
[
x + 2 = -3
]
По второй координате:
[
-1 + y = 4
]
Решаем уравнения:
Первое уравнение:
[
x + 2 = -3 \implies x = -3 - 2 \implies x = -5
]
Второе уравнение:
[
-1 + y = 4 \implies y = 4 + 1 \implies y = 5
]
Ответ:
(x = -5), (y = 5)
Подводя итог, у нас получились такие решения:
- Для задачи 490: векторы (8, 9) и (-2, 7) с длинами (\sqrt{145}) и (\sqrt{53}).
- Для задачи 492: (x = -5), (y = 5).
