Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых состоит из пяти цифр, не начинается с нечётных цифр, не оканчивается цифрами 2 и 6 и содержит не более двух цифр 7?
Для решения этой задачи давайте разберём её шаг за шагом.
Шаг 1: Понять формат записи
Восьмеричная запись состоит из цифр от 0 до 7. Важно обратить внимание на условия:
Не начинается с нечётных цифр: Восьмеричная система имеет четные и нечётные цифры. Чётные: 0, 2, 4, 6. Нечётные: 1, 3, 5, 7. Значит, первая цифра может быть только 0, 2, 4 или 6.
Не оканчивается цифрами 2 и 6: Последней цифрой может быть 0, 1, 3, 4, 5, 7 (все, кроме 2 и 6).
Содержит не более двух цифр 7: Нам нужно следить за количеством семёрок в записи.
Шаг 2: Подсчёт вариантов
1. Первая цифра
Первая цифра может быть: 0, 2, 4, 6. Количество вариантов: 4.
2. Последняя цифра
Последняя цифра может быть: 0, 1, 3, 4, 5, 7. Количество вариантов: 6.
3. Средние цифры
Средние цифры (вторая, третья и четвёртая) могут быть любыми из восьмеричных цифр (0-7), но мы должны следить за количеством семёрок. Давайте рассмотрим случаи по количеству 7:
Случай 1: 0 семёрок
Каждая из трех средних цифр может быть одной из 0-7, но нельзя, чтобы количество семёрок было больше двух. Всего цифр: 8.
Таким образом: \[ 8 \times 8 \times 8 = 8^3 = 512 \]
Случай 2: 1 семёрка
Мы можем выбрать одно из трёх мест для семёрки. Остальные две цифры могут быть любыми из 0-6 (за исключением 7): Количество способов разместить 7: \( \binom{3}{1} = 3 \). Две оставшиеся цифры могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (всего 7 вариантов): \[ 3 \times 7 \times 7 = 3 \times 7^2 = 3 \times 49 = 147 \]
Случай 3: 2 семёрки
Теперь мы выбираем два места для семёрок. Количество способов выбрать два места из трёх: \( \binom{3}{2} = 3 \). Оставшаяся цифра может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (всего 7 вариантов): \[ 3 \times 7 = 21 \]
Шаг 3: Подсчёт общего количества
Теперь складываем все случаи, чтобы получить количество возможных вариантов для средних цифр:
\[ 512 \text{ (0 семёрок)} + 147 \text{ (1 семёрка)} + 21 \text{ (2 семёрки)} = 680 \]
Теперь умножаем это число на количество вариантов для первой и последней цифры: \[ 4 \text{ (первая цифра)} \times 680 \text{ (средние цифры)} \times 6 \text{ (последняя цифра)} \] \[ = 4 \times 680 \times 6 = 16320 \]
Ответ
Таким образом, количество восьмеричных чисел, которые соответствуют заданным условиям, равно 16320.
