Иван Ефимович наугад написал на доске четырёхзначное число. Какова вероятность того, что все цифры в записи этого числа различны и нечётны? Дайте ответ в виде конечной десятичной…
Иван Ефимович наугад написал на доске четырёхзначное число. Какова вероятность того, что все цифры в записи этого числа различны и нечётны? Дайте ответ в виде конечной десятичной дроби, результат округлите до сотых.
Для решения задачи давайте сначала разберем условия и определим, какое количество четырехзначных чисел удовлетворяет критериям.
Четырехзначное число: Это число от 1000 до 9999.
Все цифры должны быть различны и нечётны:
- Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 нечётных цифр).
Выбор цифр: Чтобы число было четырехзначным, первая цифра не может быть нулем. Однако, у нас нет нуля среди нечётных цифр, поэтому самоликвидирующиеся условия заведомо соблюдены.
Теперь давайте определим, сколько четырехзначных чисел можно составить из нечётных цифр.
Шаг 1: Подсчёт подходящих чисел
- Первая цифра (единицы тысяч) может быть одной из 5 нечётных цифр: {1, 3, 5, 7, 9}.
- После выбора первой цифры, остаются 4 нечётные цифры для выбора второй цифры.
- Для третьей цифры останется 3 нечётные цифры.
- Для четвёртой цифры останется 2 нечётные цифры.
Таким образом, количество чисел, составленных из 4 различных нечётных цифр, будет:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \]
Шаг 2: Подсчёт общего количества четырехзначных чисел
Общее количество всех четырехзначных чисел – это числа от 1000 до 9999:
\[ 9999 - 1000 + 1 = 9000 \]
Шаг 3: Подсчет вероятности
Теперь можем найти вероятность того, что случайно выбранное четырехзначное число будет состоять из различных нечётных цифр.
Вероятность \( P \) вычисляется следующим образом:
\[ P = \frac{\text{Количество подходящих чисел}}{\text{Общее количество четырехзначных чисел}} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{9000} \]
Шаг 4: Подсипьные вычисления
Выполним расчеты:
Количество подходящих чисел:
\[ 5 \times 4 = 20\\ 20 \times 3 = 60\\ 60 \times 2 = 120 \]
Таким образом, количество чисел с различными нечётными цифрами равно 120. Теперь находим вероятность:
\[ P = \frac{120}{9000} \]
Сократим дробь:
\[ P = \frac{120 \div 120}{9000 \div 120} = \frac{1}{75} \]
Теперь найдем десятичное представление:
\[ P \approx 0.01333 \]
Окончательный результат
Округляя до сотых, получаем:
\[ P \approx 0.01 \]
Таким образом, вероятность того, что все цифры в записи четырехзначного числа различны и нечётны, составляет 0.01.
