Найти промежутки возрастания и убывания функции y=8x3-6x-15
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = 8x^3 - 6x - 15 \), нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем определять производную функции, находить критические точки и исследовать поведение функции на промежутках между этими точками.
Шаг 1: Найти производную функции
Первая производная функции \( y \) даст нам информацию о том, где функция увеличивается или уменьшается. Найдем производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(8x^3 - 6x - 15) \]
Для нахождения производной используем правило дифференцирования:
\[ y' = 24x^2 - 6 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 24x^2 - 6 = 0 \]
Решаем это уравнение:
\[ 24x^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{2} \]
Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -\frac{1}{2} \) и \( x = \frac{1}{2} \).
Шаг 3: Исследование знака производной
Теперь мы проверим знак производной \( y' \) на промежутках, ограниченных критическими точками:
- Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- Интервал \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \)
- Интервал \( (\frac{1}{2}, \infty) \)
Проверяем интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
Возьмем точку, например \( x = -1 \):
\[ y'(-1) = 24(-1)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \]
На этом интервале производная положительна, следовательно, функция возрастает.
Проверяем интервал \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \)
Возьмем точку, например \( x = 0 \):
\[ y'(0) = 24(0)^2 - 6 = -6 < 0 \]
На этом интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает.
Проверяем интервал \( (\frac{1}{2}, \infty) \)
Возьмем точку, например \( x = 1 \):
\[ y'(1) = 24(1)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \]
На этом интервале производная положительна, следовательно, функция возрастает.
Шаг 4: Подводим итоги
Теперь мы можем подвести итог о промежутках возрастания и убывания функции:
- Функция \( y \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и \( (\frac{1}{2}, \infty) \).
- Функция \( y \) убывает на интервале \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \).
Таким образом, мы нашли ответ на задачу. Если у Вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснение, не стесняйтесь спрашивать!
