Найти промежутки возрастания и убывания функции y=8x3-6x-15

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( y = 8x^3 - 6x - 15 \), нам нужно выполнить несколько шагов. Мы будем определять производную функции, находить критические точки и исследовать поведение функции на промежутках между этими точками. ### Шаг 1: Найти производную функции Первая производная функции \( y \) даст нам информацию о том, где функция увеличивается или уменьшается. Найдем производную: \[ y' = \frac{d}{dx}(8x^3 - 6x - 15) \] Для нахождения производной используем правило дифференцирования: \[ y' = 24x^2 - 6 \] ### Шаг 2: Найти критические точки Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 24x^2 - 6 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ 24x^2 = 6 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{2} \] Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -\frac{1}{2} \) и \( x = \frac{1}{2} \). ### Шаг 3: Исследование знака производной Теперь мы проверим знак производной \( y' \) на промежутках, ограниченных критическими точками: 1. Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) 2. Интервал \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \) 3. Интервал \( (\frac{1}{2}, \infty) \) #### Проверяем интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) Возьмем точку, например \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 24(-1)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \] На этом интервале производная положительна, следовательно, функция возрастает. #### Проверяем интервал \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \) Возьмем точку, например \( x = 0 \): \[ y'(0) = 24(0)^2 - 6 = -6 < 0 \] На этом интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает. #### Проверяем интервал \( (\frac{1}{2}, \infty) \) Возьмем точку, например \( x = 1 \): \[ y'(1) = 24(1)^2 - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \] На этом интервале производная положительна, следовательно, функция возрастает. ### Шаг 4: Подводим итоги Теперь мы можем подвести итог о промежутках возрастания и убывания функции: - Функция \( y \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и \( (\frac{1}{2}, \infty) \). - Функция \( y \) убывает на интервале \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \). Таким образом, мы нашли ответ на задачу. Если у Вас есть дополнительные вопросы или нужно пояснение, не стесняйтесь спрашивать!