Известно, что периметр равнобедренной трапеции с основаниями 30 и 90 равен 220. Определи площадь трапеции.

Для решения задачи о равнобедренной трапеции, давайте сначала разберем, что нам известно. У нас есть основания трапеции: одно основание равно 30, а другое — 90. Периметр трапеции равен 220. Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] где \( S \) — площадь, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции. ### Шаг 1: Находим длины боковых сторон Пусть \( c \) — длины боковых сторон трапеции. Поскольку это равнобедренная трапеция, обе боковые стороны равны. У нас есть следующее уравнение для периметра: \[ P = a + b + 2c \] Подставляем известные значения: \[ 220 = 30 + 90 + 2c \] Теперь упрощаем уравнение: \[ 220 = 120 + 2c \] Вычтем 120 из обеих частей: \[ 100 = 2c \] Теперь найдем \( c \): \[ c = \frac{100}{2} = 50 \] Таким образом, длины боковых сторон равны 50. ### Шаг 2: Находим высоту трапеции Теперь нам необходимо найти высоту \( h \) равнобедренной трапеции. Для этого мы можем использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой, отрезком между основаниями (параллельное основание) и полусуммой оснований. Получаем следующую картину: - Основания: \( a = 30 \) и \( b = 90 \) - Полусумма оснований: \[ \frac{a + b}{2} = \frac{30 + 90}{2} = \frac{120}{2} = 60 \] Теперь, чтобы найти высоту \( h \), воспользуемся формулой Пифагора в правом треугольнике, который образуется, если провести высоту от одной из боковых сторон до основания. Нам нужно знать длину отрезка, соединяющего основание с той точкой, где высота пересекает нижнее основание. Эта длина будет: \[ \frac{b - a}{2} = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30 \] Теперь применяем теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \): \[ c^2 = h^2 + \left( \frac{b - a}{2} \right)^2 \] Подставляем значения: \[ 50^2 = h^2 + 30^2 \] Где: \[ 2500 = h^2 + 900 \] Теперь решаем уравнение для \( h \): \[ 2500 - 900 = h^2 \] \[ 1600 = h^2 \] \[ h = \sqrt{1600} = 40 \] ### Шаг 3: Находим площадь трапеции Теперь, зная высоту \( h = 40 \), можем найти площадь \( S \): \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] \[ S = \frac{(30 + 90)}{2} \times 40 \] \[ S = \frac{120}{2} \times 40 = 60 \times 40 = 2400 \] ### Ответ Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет **2400 квадратных единиц**.