Известно, что периметр равнобедренной трапеции с основаниями 30 и 90 равен 220. Определи площадь трапеции.

Для решения задачи о равнобедренной трапеции, давайте сначала разберем, что нам известно. У нас есть основания трапеции: одно основание равно 30, а другое — 90. Периметр трапеции равен 220. Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \]

где \( S \) — площадь, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.

Шаг 1: Находим длины боковых сторон

Пусть \( c \) — длины боковых сторон трапеции. Поскольку это равнобедренная трапеция, обе боковые стороны равны. У нас есть следующее уравнение для периметра:

\[ P = a + b + 2c \]

Подставляем известные значения:

\[ 220 = 30 + 90 + 2c \]

Теперь упрощаем уравнение:

\[ 220 = 120 + 2c \]

Вычтем 120 из обеих частей:

\[ 100 = 2c \]

Теперь найдем \( c \):

\[ c = \frac{100}{2} = 50 \]

Таким образом, длины боковых сторон равны 50.

Шаг 2: Находим высоту трапеции

Теперь нам необходимо найти высоту \( h \) равнобедренной трапеции. Для этого мы можем использовать прямоугольный треугольник, образованный высотой, отрезком между основаниями (параллельное основание) и полусуммой оснований.

Получаем следующую картину:

• Основания: \( a = 30 \) и \( b = 90 \)
• Полусумма оснований:

\[ \frac{a + b}{2} = \frac{30 + 90}{2} = \frac{120}{2} = 60 \]

Теперь, чтобы найти высоту \( h \), воспользуемся формулой Пифагора в правом треугольнике, который образуется, если провести высоту от одной из боковых сторон до основания.

Нам нужно знать длину отрезка, соединяющего основание с той точкой, где высота пересекает нижнее основание. Эта длина будет:

\[ \frac{b - a}{2} = \frac{90 - 30}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]

Теперь применяем теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \):

\[ c^2 = h^2 + \left( \frac{b - a}{2} \right)^2 \]

Подставляем значения:

\[ 50^2 = h^2 + 30^2 \]

Где:

\[ 2500 = h^2 + 900 \]

Теперь решаем уравнение для \( h \):

\[ 2500 - 900 = h^2 \] \[ 1600 = h^2 \] \[ h = \sqrt{1600} = 40 \]

Шаг 3: Находим площадь трапеции

Теперь, зная высоту \( h = 40 \), можем найти площадь \( S \):

\[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] \[ S = \frac{(30 + 90)}{2} \times 40 \] \[ S = \frac{120}{2} \times 40 = 60 \times 40 = 2400 \]

Ответ

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции составляет 2400 квадратных единиц.