Представить комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной формах. Найти их сумму и разность в алгебраическом виде. Найти их произведение и частное в…

Давайте разберемся с данной задачей по шагам.

1. Представление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Комплексное число z1: \[ z_1 = -2\sqrt{3} - 2i \]

Находим модуль z1: \[ |z_1| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \]

Находим аргумент z1: \[ \tan(\theta) = \frac{-2}{-2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] По таблице тангенсов: \( \theta = \frac{\pi}{6} \). Поскольку z1 находится во III квадрате, добавим \( \pi \): \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \]

Тригонометрическая форма: \[ z_1 = 4 \left( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \right) \]

Показательная форма: \[ z_1 = 4 e^{i \frac{7\pi}{6}} \]

Комплексное число z2: \[ z_2 = 1 + i \]

Находим модуль z2: \[ |z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]

Находим аргумент z2: \[ \tan(\theta) = \frac{1}{1} = 1 \] Получаем \( \theta = \frac{\pi}{4} \).

Тригонометрическая форма: \[ z_2 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \]

Показательная форма: \[ z_2 = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}} \]

2. Сумма и разность в алгебраическом виде

Сумма: \[ z_1 + z_2 = (-2\sqrt{3} - 2i) + (1 + i) = -2\sqrt{3} + 1 - i \]

Разность: \[ z_1 - z_2 = (-2\sqrt{3} - 2i) - (1 + i) = -2\sqrt{3} - 1 - 3i \]

3. Произведение и частное

Произведение: \[ z_1 \cdot z_2 = (-2\sqrt{3} - 2i)(1 + i) \]

Рассчитаем: \[ = -2\sqrt{3} \cdot 1 - 2\sqrt{3} \cdot i - 2i \cdot 1 - 2i \cdot i \] \[ = -2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}i - 2i + 2 \] \[ = (2 - 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{3} - 2)i \]

Частное: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-2\sqrt{3} - 2i}{1 + i} \] Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю: \[ = \frac{(-2\sqrt{3} - 2i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{(-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}i - 2i - 2)}{2} \]

Считаем: \[ = \frac{-2\sqrt{3} - 2 + (2\sqrt{3} - 2)i}{2} = -\sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} - 1)i \]

4. Возведение в степень

Возводим z1 в степень n=9: \[ z_1^9 = (4 e^{i \frac{7\pi}{6}})^9 = 4^9 e^{i \frac{63\pi}{6}} = 262144 e^{i \frac{63\pi}{6}} \]

Упрощаем: \[ \frac{63\pi}{6} = 10\pi + \frac{3\pi}{6} = 10\pi + \frac{\pi}{2} \] Так как \( e^{i \cdot 10\pi} = 1 \), получаем: \[ z_1^9 = 262144 e^{i \frac{\pi}{2}} = 262144 i \]

5. Извлечение корня

Извлекаем корень степени n=3 из z1: Для извлечения кубического корня применяем формулу: \[ \sqrt[3]{r} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{3} \right), k = 0, 1, 2 \] Где \( r = 4 \) и \( \theta = \frac{7\pi}{6} \).

Модуль: \[ \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}} \]

Аргумент: Для \( k = 0, 1, 2 \): \[ \theta_0 = \frac{\frac{7\pi}{6}}{3} = \frac{7\pi}{18}, \quad \theta_1 = \frac{\frac{7\pi}{6} + 2\pi}{3} = \frac{7\pi + 12\pi}{18} = \frac{19\pi}{18}, \quad \theta_2 = \frac{\frac{7\pi}{6} + 4\pi}{3} = \frac{43\pi}{18} \]

Таким образом, корни:

1. \( \sqrt[3]{z_1} = 2^{\frac{2}{3}} \left( \cos \frac{7\pi}{18} + i \sin \frac{7\pi}{18} \right) \)
2. \( \sqrt[3]{z_1} = 2^{\frac{2}{3}} \left( \cos \frac{19\pi}{18} + i \sin \frac{19\pi}{18} \right) \)
3. \( \sqrt[3]{z_1} = 2^{\frac{2}{3}} \left( \cos \frac{43\pi}{18} + i \sin \frac{43\pi}{18} \right) \)

Итак, мы рассмотрели все этапы, обращая внимание на каждое число и операции. Если есть вопросы по какой-либо части, задавайте!