Задание №1: Моторная лодка прошла против течения реки 280 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите…

Для решения данной задачи будем использовать формулы, связанные с движением и скоростью. Давайте аналитически разберем условия.

Шаг 1: Обозначим переменные

• Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за \( v \) км/ч.
• Скорость течения реки равна \( 3 \) км/ч.

Шаг 2: Определим скорость лодки против течения и по течению

1. Скорость лодки против течения:
   Когда лодка движется против течения, ее скорость составит: \[ v_{\text{против}} = v - 3 \]

2. Скорость лодки с течением:
   Когда лодка движется по течению, ее скорость составит: \[ v_{\text{по}} = v + 3 \]

Шаг 3: Запишем время в пути

Теперь запишем выражения для времени, затраченного на путь в одном и другом направлении.

• Время против течения (вперед): \[ t_{\text{против}} = \frac{280}{v - 3} \]

• Время с течением (обратно): \[ t_{\text{по}} = \frac{280}{v + 3} \]

Шаг 4: Условие задачи

По условию задачи, время на обратный путь составляет на 6 часов меньше, чем на путь против течения: \[ t_{\text{по}} = t_{\text{против}} - 6 \]

Подставим выражения для времени: \[ \frac{280}{v + 3} = \frac{280}{v - 3} - 6 \]

Шаг 5: Решение уравнения

Теперь умножим оба члена на \( (v - 3)(v + 3) \) (что избавляет нас от дробей): \[ 280(v - 3) = 280(v + 3) - 6(v^2 - 9) \]

Раскроем скобки: \[ 280v - 840 = 280v + 840 - 6v^2 + 54 \]

Упростим уравнение, убрав \( 280v \) с обеих сторон: \[ -840 = 840 - 6v^2 + 54 \] \[ -840 - 840 - 54 = -6v^2 \] \[ -1734 = -6v^2 \]

Разделим обе стороны на -6: \[ v^2 = 289 \]

Теперь извлекаем корень: \[ v = 17 \]

Шаг 6: Ответ

Скорость лодки в неподвижной воде составляет \( v = 17 \) км/ч.

Заключение

Таким образом, ответ на задачу: скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч.