В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева.

Для решения этой задачи нам нужно понять несколько ключевых понятий, связанных с деревьями в графах, и, в частности, с их вершинами и степенями.

Понятия

1. Дерево - это связный граф без циклов. Каждое дерево с \( n \) вершинами имеет \( n - 1 \) рёбер.
2. Степень вершины - это количество рёбер, связанных с данной вершиной. В дереве каждая вершина может иметь от 1 (листья) до \( n-1 \) (корень и листы).

Шаги решения

1. Обозначения:

   • Пусть \( n \) - количество вершин дерева. В нашем случае \( n = 100 \).

2. Общие свойства деревьев:

   • В любом дереве с \( n \) вершинами сумма степеней всех вершин равна \( 2(n - 1) \). Это связано с тем, что каждое ребро соединяет две вершины, то есть вносят по 1 в степень каждой из них. Таким образом, если в дереве \( n - 1 \) рёбер, сумма степеней всех вершин будет равна \( 2(n - 1) \).

3. Подсчёт суммы степеней:

   • Для \( n = 100 \): \[ \text{Сумма степеней всех вершин} = 2(n - 1) = 2(100 - 1) = 2 \cdot 99 = 198 \]

4. Нахождение среднего арифметического степеней:

   • Среднее арифметическое степеней всех вершин вычисляется как: \[ \text{Среднее} = \frac{\text{Сумма степеней всех вершин}}{\text{Количество вершин}} = \frac{198}{100} = 1.98 \]

Ответ

Таким образом, среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева равно \( 1.98 \).