висота зрізаного конуса 3 см.Радіус однієї основи вдвічі більше радіуса другої основи, а твірна нахилена під кутом 45° до нижньої основи. Знайти площу повної поверг та об'єм…

Для розв'язання цієї задачі необхідно знайти площу повної поверхні та об'єм зрізаного конуса. Давайте розглянемо кожен з цих етапів покроково.

Вхідні дані

• Висота зрізаного конуса (h) = 3 см
• Радіус верхньої основи (r1) вдвічі менший за радіус нижньої основи (r2)
• Кут нахилу твірної = 45°

Крок 1: Позначимо радіуси

Нехай радіус нижньої основи (r2) дорівнює \( r \). Тоді радіус верхньої основи (r1) буде: \[ r1 = \frac{r}{2} \]

Крок 2: Знайдемо твірну

Для зрізаного конуса твірна (l) можна знайти за допомогою тригонометричних властивостей.

Так як кут нахилу твірної до нижньої основи дорівнює 45°, ми можемо скористатися тангенсом кута: \[ \tan(45°) = 1 = \frac{h}{(r2 - r1)} \] Тут \( h \) – висота, а \( r2 - r1 \) – відстань між радіусами основ.

Підставимо значення: \[ 1 = \frac{3}{(r - \frac{r}{2})} \\ 1 = \frac{3}{\frac{r}{2}} \\ \frac{r}{2} = 3 \\ r = 6 \ \text{см} \quad (r2) \] Тоді \( r1 = \frac{r}{2} = \frac{6}{2} = 3 \ \text{см} \).

Крок 3: Знайдемо твірну

Можемо знайти твірну за допомогою висоти та різниці радіусів: \[ l = \sqrt{h^2 + (r2 - r1)^2} = \sqrt{3^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \ \text{см} \]

Крок 4: Обчислимо об'єм зрізаного конуса

Формула для об'єму зрізаного конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi h (r1^2 + r1 \cdot r2 + r2^2) \] Підставимо відомі значення: \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \left( 3^2 + 3 \cdot 6 + 6^2 \right) \\ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \left( 9 + 18 + 36 \right) \\ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 63 \\ V = 63\pi \ \text{см}^3 \]

Крок 5: Знайдемо площу повної поверхні

Формула для площі повної поверхні зрізаного конуса: \[ S = \pi (r1^2 + r2^2) + \pi l (r1 + r2) \] Підставимо знайдені значення: \[ S = \pi (3^2 + 6^2) + \pi (3\sqrt{2}) (3 + 6) \\ S = \pi (9 + 36) + \pi (3\sqrt{2}) \cdot 9 \\ S = 45\pi + 27\sqrt{2}\pi \]

Висновок

• Об'єм зрізаного конуса: \( V = 63\pi \ \text{см}^3 \)
• Площа повної поверхні: \( S = 45\pi + 27\sqrt{2}\pi \ \text{см}^2 \)

Це рішення повинно допомогти зрозуміти, як працювати з таким типом задач. Якщо є додаткові питання, не соромтеся запитувати!