Для розв'язання цієї задачі необхідно знайти площу повної поверхні та об'єм зрізаного конуса. Давайте розглянемо кожен з цих етапів покроково.
Вхідні дані
- Висота зрізаного конуса (h) = 3 см
- Радіус верхньої основи (r1) вдвічі менший за радіус нижньої основи (r2)
- Кут нахилу твірної = 45°
Крок 1: Позначимо радіуси
Нехай радіус нижньої основи (r2) дорівнює ( r ). Тоді радіус верхньої основи (r1) буде:
[ r1 = \frac{r}{2} ]
Крок 2: Знайдемо твірну
Для зрізаного конуса твірна (l) можна знайти за допомогою тригонометричних властивостей.
Так як кут нахилу твірної до нижньої основи дорівнює 45°, ми можемо скористатися тангенсом кута:
[
\tan(45°) = 1 = \frac{h}{(r2 - r1)}
]
Тут ( h ) – висота, а ( r2 - r1 ) – відстань між радіусами основ.
Підставимо значення:
[
1 = \frac{3}{(r - \frac{r}{2})} \
1 = \frac{3}{\frac{r}{2}} \
\frac{r}{2} = 3 \
r = 6 \ \text{см} \quad (r2)
]
Тоді ( r1 = \frac{r}{2} = \frac{6}{2} = 3 \ \text{см} ).
Крок 3: Знайдемо твірну
Можемо знайти твірну за допомогою висоти та різниці радіусів:
[
l = \sqrt{h^2 + (r2 - r1)^2} = \sqrt{3^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \ \text{см}
]
Крок 4: Обчислимо об'єм зрізаного конуса
Формула для об'єму зрізаного конуса:
[
V = \frac{1}{3} \pi h (r1^2 + r1 \cdot r2 + r2^2)
]
Підставимо відомі значення:
[
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \left( 3^2 + 3 \cdot 6 + 6^2 \right) \
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \left( 9 + 18 + 36 \right) \
V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 63 \
V = 63\pi \ \text{см}^3
]
Крок 5: Знайдемо площу повної поверхні
Формула для площі повної поверхні зрізаного конуса:
[
S = \pi (r1^2 + r2^2) + \pi l (r1 + r2)
]
Підставимо знайдені значення:
[
S = \pi (3^2 + 6^2) + \pi (3\sqrt{2}) (3 + 6) \
S = \pi (9 + 36) + \pi (3\sqrt{2}) \cdot 9 \
S = 45\pi + 27\sqrt{2}\pi
]
Висновок
- Об'єм зрізаного конуса: ( V = 63\pi \ \text{см}^3 )
- Площа повної поверхні: ( S = 45\pi + 27\sqrt{2}\pi \ \text{см}^2 )
Це рішення повинно допомогти зрозуміти, як працювати з таким типом задач. Якщо є додаткові питання, не соромтеся запитувати!
