Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи о максимальной зависимости поступлений в бюджет от ставки налога, представленным как квадратичная функция, давайте обозначим нашу функцию поступлений как \( P(x) \), где \( x \) — ставка налога. Согласно заданным данным, мы можем записать следующие значения:
- \( P(10) = 1.3 \) млрд фантиков
- \( P(27) = 1.6 \) млрд фантиков
- \( P(33) = 1.3 \) млрд фантиков
Поскольку функция поступлений является квадратичной, её можно записать в общей форме:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые нам нужно найти.
Поскольку у нас есть три точки, мы можем подставить эти значения и составить систему уравнений.
Шаг 1: Составление уравнений
- Для \( x = 10 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
- Для \( x = 27 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
- Для \( x = 33 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
Шаг 2: Устранение переменной \( c \)
Мы можем выразить \( c \) из первого уравнения: \[ c = 1.3 - 100a - 10b \] Теперь подставим это значение \( c \) в другие два уравнения.
Уравнение 2:
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] Упрощаем: \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b + 1.3 = 1.6 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (1) \]
Уравнение 3:
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] Упрощаем: \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b + 1.3 = 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (2) \]
Шаг 3: Решение системы уравнений
Теперь мы имеем систему из двух уравнений (1) и (2):
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
- \( 989a + 23b = 0 \)
Из второго уравнения выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение в первое уравнение: \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] Умножим все на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 629 \cdot 23 a - 17 \cdot 989 a = 6.9 \] Теперь упростим: \[ 14467 a - 16813 a = 6.9 \] \[ -2346 a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.00294 \]
Теперь подставим \( a \) обратно для нахождения \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}\left(-\frac{6.9}{2346}\right) \approx 0.188 \]
Шаг 4: Нахождение \( c \)
Теперь можем найти \( c \) из первого уравнения: \[ c = 1.3 - 100(-0.00294) - 10(0.188) \approx 1.3 + 0.294 - 1.88 \approx -0.286 \]
Шаг 5: Формирование функции и нахождение максимума
Теперь у нас есть функция: \[ P(x) = -0.00294x^2 + 0.188x - 0.286 \]
Максимум квадратичной функции такой формы находится в точке: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.188}{2 \cdot -0.00294} \approx 31.94 \]
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет, составляет примерно 32%.
