Чтобы ответить на задачу, можем использовать формулу для вычисления вероятности появления определенного количества успехов в серии независимых испытаний. В нашем случае мы используем биномиальное распределение.
Шаг 1: Определение формулы для биномиального распределения
Вероятность того, что из (n) независимых испытаний (подбрасываний монеты) событие (выпадение решки) произойдет ровно (k) раз, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- (C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}) — биномиальный коэффициент,
- (p) — вероятность успеха (1/2 для монеты),
- (n) — общее количество испытаний,
- (k) — количество успешных испытаний (выпадение решки).
Здесь у нас (n = 16).
Шаг 2: Вероятность выпадения решки ровно 10 раз
Для (k = 10):
[
P(X = 10) = C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента (C(16, 10))
[
C(16, 10) = C(16, 6) = \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008
]
Таким образом:
[
P(X = 10) = 8008 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
Шаг 4: Вероятность выпадения решки ровно 13 раз
Для (k = 13):
[
P(X = 13) = C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
Шаг 5: Вычисление биномиального коэффициента (C(16, 13))
[
C(16, 13) = C(16, 3) = \frac{16!}{13! \cdot 3!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560
]
Таким образом:
[
P(X = 13) = 560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
Шаг 6: Сравнение вероятностей
Теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз»:
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}} = \frac{8008}{560}
]
Шаг 7: Вычисление этого отношения
[
\frac{8008}{560} = 14.2857 \approx 14.29
]
Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» примерно в 14.29 раз.
