Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Чтобы ответить на задачу, можем использовать формулу для вычисления вероятности появления определенного количества успехов в серии независимых испытаний. В нашем случае мы используем биномиальное распределение.

Шаг 1: Определение формулы для биномиального распределения

Вероятность того, что из \(n\) независимых испытаний (подбрасываний монеты) событие (выпадение решки) произойдет ровно \(k\) раз, вычисляется по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) — биномиальный коэффициент,
• \(p\) — вероятность успеха (1/2 для монеты),
• \(n\) — общее количество испытаний,
• \(k\) — количество успешных испытаний (выпадение решки).

Здесь у нас \(n = 16\).

Шаг 2: Вероятность выпадения решки ровно 10 раз

Для \(k = 10\):

\[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = C(16, 10) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента \(C(16, 10)\)

\[ C(16, 10) = C(16, 6) = \frac{16!}{10! \cdot 6!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008 \]

Таким образом:

\[ P(X = 10) = 8008 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

Шаг 4: Вероятность выпадения решки ровно 13 раз

Для \(k = 13\):

\[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{13} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = C(16, 13) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

Шаг 5: Вычисление биномиального коэффициента \(C(16, 13)\)

\[ C(16, 13) = C(16, 3) = \frac{16!}{13! \cdot 3!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 560 \]

Таким образом:

\[ P(X = 13) = 560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

Шаг 6: Сравнение вероятностей

Теперь мы можем найти, во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз»:

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{560 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Шаг 7: Вычисление этого отношения

\[ \frac{8008}{560} = 14.2857 \approx 14.29 \]

Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» примерно в 14.29 раз.