катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения реки затратив на весь путь 3 часа какова собственная скорость катера если скорость течения реки 2 км/ч
Чтобы разобраться в данной задаче, давайте сначала выделим важные параметры и запишем, что нам известно:
- Расстояние, пройденное по течению реки (S1) = 40 км
- Расстояние, пройденное против течения реки (S2) = 6 км
- Время в пути (T) = 3 часа
- Скорость течения реки (V_t) = 2 км/ч
- Собственная скорость катера (V_k) = ?
Теперь нам нужно найти собственную скорость катера.
Шаг 1: Записать формулы для времени в пути
Время в пути можно выразить через расстояние и скорость. Время, затраченное на путь по течению, и время, затраченное против течения, можно записать как:
Время по течению (T1): \[ T_1 = \frac{S_1}{V_k + V_t} = \frac{40}{V_k + 2} \]
Время против течения (T2): \[ T_2 = \frac{S_2}{V_k - V_t} = \frac{6}{V_k - 2} \]
Шаг 2: Составить уравнение времени
Сумма времени, затраченного на путь по течению и против течения, равна общему времени (3 часа):
\[ T_1 + T_2 = 3 \]
Подставим выражения для T1 и T2:
\[ \frac{40}{V_k + 2} + \frac{6}{V_k - 2} = 3 \]
Шаг 3: Решить уравнение
Теперь найдем общее уравнение. Умножим обе стороны уравнения на (V_k + 2)(V_k - 2), чтобы избавиться от дробей:
\[ 40(V_k - 2) + 6(V_k + 2) = 3(V_k + 2)(V_k - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ 40V_k - 80 + 6V_k + 12 = 3(V_k^2 - 4) \]
Объединим подобные члены:
\[ 46V_k - 68 = 3V_k^2 - 12 \]
Переносим все члены в одну сторону уравнения:
\[ 3V_k^2 - 46V_k + 56 = 0 \]
Шаг 4: Найти корни уравнения
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 \] \[ D = 2116 - 672 = 1444 \]
Находим корни:
\[ V_k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{46 \pm \sqrt{1444}}{2 \cdot 3} = \frac{46 \pm 38}{6} \]
Рассмотрим оба случая:
- \( V_k = \frac{84}{6} = 14 \)
- \( V_k = \frac{8}{6} \approx 1.33 \)
Мы имеем две возможные скорости, однако, только \( V_k = 14 \) км/ч имеет смысл, так как собственная скорость катера должна быть больше скорости течения.
Ответ
Собственная скорость катера равна 14 км/ч.
Если у вас остались вопросы или требуется дальше объяснить какой-то шаг, дайте знать!
