Задание 1. Среди взрослых жителей города каждый четвёртый является клиентом банка АВС. Известно, что среди клиентов банка 45% женщины. Считая, что события «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы, найдите вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС.

Для того чтобы решить эту задачу, начнём с того, что введём некоторые обозначения и воспользуемся принципами теории вероятностей. Пусть: - \( P(A) \) — вероятность того, что случайно выбранный горожанин является клиентом банка АВС. - \( P(W) \) — вероятность того, что случайно выбранный горожанин — женщина. - \( P(M) \) — вероятность того, что случайно выбранный горожанин — мужчина. Согласно условию: 1. Каждый четвёртый житель города является клиентом банка АВС. Это значит, что: \[ P(A) = \frac{1}{4} = 0.25 \] 2. Также сказано, что среди клиентов банка 45% составляют женщины. Это значит, что: \[ P(W | A) = 0.45 \] 3. По теореме полной вероятности, мы можем найти вероятность того, что клиент банка — мужчина \( P(M | A) \): \[ P(M | A) = 1 - P(W | A) = 1 - 0.45 = 0.55 \] Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, нам необходимо вычислить \( P(\neg A | M) \), где \( \neg A \) — это событие, что горожанин не является клиентом банка АВС. Используем правило Байеса для нахождения этой вероятности: \[ P(\neg A | M) = \frac{P(M | \neg A) \cdot P(\neg A)}{P(M)} \] Мы знаем, что: - \( P(\neg A) = 1 - P(A) = 1 - 0.25 = 0.75 \). Теперь нам нужно найти \( P(M | \neg A) \) и \( P(M) \). 1. Найдем общее количество мужчин \( P(M) \). Мы знаем, что: \[ P(M) = P(M | A) \cdot P(A) + P(M | \neg A) \cdot P(\neg A) \] Чтобы это рассчитать, сначала найдем \( P(M | A) \): \[ P(M | A) = 0.55 \] Таким образом, подставляем известные величины в формулу для \( P(M) \): \[ P(M) = 0.55 \cdot 0.25 + P(M | \neg A) \cdot 0.75 \] Но так как \( P(M | \neg A) \) нам неизвестно, заменим его количеством мужчин в данной ситуации. Так как половина клиентов банка - мужчины и женщины, а среди всех жителей вероятность того, что житель не является клиентом банка (то есть, не так, как выше), остаётся придерживаться вероятности, что любой житель города — мужчина. Так как пропорция мужчин не является непременно зависимой от установленной пропорции женщин, можем подсчитать: \[ P(M | \neg A) \approx 0.5 \text{ (по исходной подчинённой справедливой вероятности)} \Rightarrow \] \[ P(M) = 0.55 \cdot 0.25 + 0.5 \cdot 0.75 \] \[ P(M) = 0.1375 + 0.375 = 0.5125 \] Теперь можем вернуть формулу Байеса: \[ P(\neg A | M) = \frac{P(M | \neg A) \cdot P(\neg A)}{P(M)} = \frac{0.5 \cdot 0.75}{0.5125} = \frac{0.375}{0.5125} \approx 0.73. \] Значит, вероятность того, что случайно выбранный мужчина не является клиентом банка АВС, примерно равняется **73%**. Это значит, что мужчина из этого города с высокой вероятностью не является клиентом банка АВС.