Давайте последовательно рассмотрим каждую из задач, вычисляя производные и подставляя указанные значения для x.
Задача 199
1) ( f(x) = 4x^3 - 3x^2 - x - 1 )
Найдём производную ( f'(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(1)
]
[
f'(x) = 12x^2 - 6x - 1
]
Теперь подставим ( x = -1 ):
[
f'(-1) = 12(-1)^2 - 6(-1) - 1 = 12(1) + 6 - 1 = 12 + 6 - 1 = 17
]
2) ( f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 4x - 1 )
Найдём производную:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4) - \frac{d}{dx}(-2x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(1)
]
[
f'(x) = 12x^3 - 4x + 4
]
Теперь подставим ( x = -1 ):
[
f'(-1) = 12(-1)^3 - 4(-1) + 4 = -12 + 4 + 4 = -4
]
3) ( f(x) = 1 - x^2 + x^3 - x^4 + x^5 )
Найдём производную:
[
f'(x) = 0 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4
]
Теперь подставим ( x = 2 ):
[
f'(2) = -2(2) + 3(2^2) - 4(2^3) + 5(2^4) = -4 + 12 - 32 + 80 = 56
]
Задача 200
1) ( f(x) = (2x^3 - 1)(x^2 + 1) )
Используем правило произведения:
[
f'(x) = (2x^3 - 1)'(x^2 + 1) + (2x^3 - 1)(x^2 + 1)'
]
[
f'(x) = (6x^2)(x^2 + 1) + (2x^3 - 1)(2x)
]
Теперь подставим ( x = 1 ):
[
f'(1) = (6(1)^2)(1^2 + 1) + (2(1)^3 - 1)(2(1)) = 6 \cdot 2 + (2 - 1) \cdot 2 = 12 + 2 = 14
]
2) ( f(x) = (3 - x^2)(4 + x^2) )
Применим правило произведения:
[
f'(x) = (3 - x^2)(4 + x^2)' + (4 + x^2)(3 - x^2)'
]
[
f'(x) = (3 - x^2)(2x) + (4 + x^2)(-2x)
]
Теперь подставим ( x = -2 ):
[
f'(-2) = (3 - (-2)^2)(2(-2)) + (4 + (-2)^2)(-2(-2)) = (3 - 4)(-4) + (4 + 4)(4) = -1 \cdot (-4) + 8 \cdot 4 = 4 + 32 = 36
]
3) ( f(x) = (x^3 + x^2)(x^2 - 1) )
Применим правило произведения:
[
f'(x) = (x^3 + x^2)'(x^2 - 1) + (x^3 + x^2)(x^2 - 1)'
]
[
f'(x) = (3x^2 + 2x)(x^2 - 1) + (x^3 + x^2)(2x)
]
Теперь подставим ( x = -1 ):
[
f'(-1) = (3(-1)^2 + 2(-1))((-1)^2 - 1) + ((-1)^3 + (-1)^2)(2(-1))
]
[
f'(-1) = (3 - 2)(0) + (-1 + 1)(-2) = 0 + 0 = 0
]
Задача 201
1) ( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} )
Используем правило деления:
[
f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(2x) - (x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 1)^2}
]
Теперь подставим ( x = -2 ):
[
f'(-2) = \frac{((-2)^2 - 1)(2(-2)) - ((-2)^2 + 1)(2(-2))}{((-2)^2 - 1)^2}
]
[
= \frac{(4 - 1)(-4) - (4 + 1)(-4)}{(4 - 1)^2} = \frac{3(-4) - 5(-4)}{3^2} = \frac{-12 + 20}{9} = \frac{8}{9}
]
2) ( f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^2 + 1} )
Применим правило деления:
[
f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(3x^2) - (x^3 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
]
Теперь подставим ( x = 1 ):
[
f'(1) = \frac{(1^2 + 1)(3(1^2)) - (1^3 + 1)(2(1))}{(1^2 + 1)^2} = \frac{(1 + 1)(3) - (1 + 1)(2)}{(1 + 1)^2} = \frac{6 - 4}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
]
3) ( f(x) = \frac{3x-1}{2x+1} )
Найдём производную:
[
f'(x) = \frac{(2x+1)(3) - (3x-1)(2)}{(2x+1)^2}
]
Теперь подставим ( x = 2 ):
[
f'(2) = \frac{(2(2)+1)(3) - (3(2)-1)(2)}{(2(2)+1)^2} = \frac{(4 + 1)(3) - (6 - 1)(2)}{(4 + 1)^2} = \frac{5 \cdot 3 - 10}{25} = \frac{15 - 10}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}
]
Задача 202
1) ( f(x) = (x^2 + 2x - 1)^4 )
Применим правило цепочки:
[
f'(x) = 4(x^2 + 2x - 1)^3(2x + 2)
]
Теперь подставим ( x = -1 ):
[
f'(-1) = 4((-1)^2 + 2(-1) - 1)^3(2(-1) + 2) = 4(1 - 2 - 1)^3(0) = 4(-2)^3(0) = 0
]
2) ( f(x) = (x^3 - 4x^2 + 3)^7 )
Применим правило цепочки:
[
f'(x) = 7(x^3 - 4x^2 + 3)^6(3x^2 - 8x)
]
Теперь подставим ( x = 1 ):
[
f'(1) = 7((1)^3 - 4(1)^2 + 3)^6(3(1)^2 - 8(1)) = 7(1 - 4 + 3)^6(3 - 8) = 7(0)^6(-5) = 0
]
3) ( f(x) = (3x - 1)^4 )
Применим правило цепочки:
[
f'(x) = 4(3x - 1)^3(3)
]
Теперь подставим ( x = 1 ):
[
f'(1) = 4(3(1) - 1)^3(3) = 4(3 - 1)^3(3) = 4(2)^3(3) = 4 \cdot 8 \cdot 3 = 96
]
Задача 203
1) ( f(x) = \frac{1}{x^3 - 1} )
Используем правило деления:
[
f'(x) = \frac{0 \cdot (x^3 - 1) - 1 \cdot (3x^2)}{(x^3 - 1)^2} = -\frac{3x^2}{(x^3 - 1)^2}
]
Теперь подставим ( x = 2 ):
[
f'(2) = -\frac{3(2)^2}{((2)^3 - 1)^2} = -\frac{3 \cdot 4}{(8 - 1)^2} = -\frac{12}{49}
]
2) ( f(x) = \frac{1}{(1 - x^2)^2} )
Используем правило деления:
[
f'(x) = -\frac{0 \cdot (1 - x^2)^2 - 1 \cdot (2(1 - x^2)(-2x))}{(1 - x^2)^4} = \frac{4x(1 - x^2)}{(1 - x^2)^4}
]
Теперь подставим ( x = 2 ):
[
f'(2) = \frac{4(2)(1 - (2)^2)}{(1 - (2)^2)^4} = \frac{8(1 - 4)}{(1 - 4)^4} = \frac{8 \cdot (-3)}{(-3)^4} = \frac{-24}{81} = -\frac{8}{27}
]
3) ( f(x) = \frac{1}{(x^2 + x + 1)^2} )
Используем правило деления:
[
f'(x) = -\frac{0 \cdot (x^2 + x + 1)^2 - 1 \cdot (2(x^2 + x + 1)(2x + 1))}{(x^2 + x + 1)^4} = -\frac{2(2x + 1)(x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)^4}
]
Теперь подставим ( x = 1 ):
[
f'(1) = -\frac{2(2(1) + 1)(1^2 + 1 + 1)}{(1^2 + 1 + 1)^4} = -\frac{2(2 + 1)(1 + 1 + 1)}{(1 + 1 + 1)^4} = -\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{3^4} = -\frac{18}{81} = -\frac{2}{9}
]
Эти рас calculations предоставляют фундаментальное понимание производных и как их вычислять. Если у вас есть дальнейшие вопросы или требуется помощь с другими задачами, дайте знать!
