Для решения задачи необходимо воспользоваться законом Бойля-Мариотта и изучить, как давление воздуха в цилиндрической ёмкости влияет на подъем полого металлического шарика. Давайте разберемся по порядку.
Шаг 1: Параметры задачи
Параметры шарика:
- Радиус ( r = 2 ) см ( = 0.02 ) м.
- Масса ( m = 1 ) г ( = 0.001 ) кг.
Физические параметры воздуха:
- Температура ( T = 26 ) °C ( = 299 ) K (прибавив 273).
- Молярная масса ( M = 29 ) г/моль ( = 0.029 ) кг/моль.
Условия, при которых шарик начнет подниматься (отрыв от дна):
- Условие Архимеда: подъемная сила равна весу вытесненной жидкости (в данном случае воздуха).
Шаг 2: Подъемная сила
Подъемная сила ( F_{под.} ) на шарик определяется по формуле:
[
F_{под.} = V_{выд.} \cdot \rho_{возд.} \cdot g
]
где:
- ( V_{выд.} ) — объем шарика,
- ( \rho_{возд.} ) — плотность воздуха,
- ( g ) — ускорение свободного падения (примерно ( 9.81 ) м/с²).
Объем полого металлического шарика можно вычислить по формуле для объема сферы:
[
V_{выд.} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.02)^3 \text{ м}^3.
]
Шаг 3: Плотность воздуха
Плотность воздуха можно вычислить с использованием уравнения состояния идеального газа:
[
PV = nRT,
]
где:
- ( P ) — давление (в паскалях),
- ( V ) — объем (в кубических метрах),
- ( n ) — количество вещества (в молях),
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R \approx 8.31 ) Дж/(моль·К)),
- ( T ) — температура (в кельвинах).
Сначала найдем плотность воздуха (при стандартном давлении ( P_0 = 101325 ) Па):
[
V = n \cdot \frac{R \cdot T}{P_0} \Longrightarrow \rho_{возд.} = \frac{P_0 \cdot M}{R \cdot T}.
]
Подставим значения:
[
\rho_{возд.} = \frac{101325 \cdot 0.029}{8.31 \cdot 299} \approx 1.164 \text{ кг/м}^3.
]
Шаг 4: Определение давления
Теперь, чтобы шарик оторвался от дна, подъемная сила должна быть больше или равна весу шарика:
[
F_{под.} \geq m \cdot g.
]
Сначала вычислим вес шарика:
[
F_{ш.} = m \cdot g = 0.001 \cdot 9.81 \approx 0.00981 \text{ Н}.
]
Теперь подъемная сила:
[
F_{под.} = V_{выд.} \cdot \rho_{возд.} \cdot g.
]
Вычислим ( V_{выд.} ):
[
V_{выд.} = \frac{4}{3} \pi (0.02)^3 \approx 3.351 \times 10^{-5} \text{ м}^3.
]
Теперь выразим давление:
[
F_{под.} = 3.351 \times 10^{-5} \cdot \rho_{возд.} \cdot g,
]
и приравняем его к весу шарика:
[
3.351 \times 10^{-5} \cdot \rho_{возд.} \cdot g = 0.00981.
]
Подставим всё из предыдущего:
[
3.351 \times 10^{-5} \cdot 1.164 \cdot 9.81 \geq 0.00981.
]
Шаг 5: Упрощение и окончательное вывод
Теперь решим это уравнение для нахождения давления, при котором подъемная сила будет равна весу шарика. Решая уравнение и подставляя значения, найдём минимальное давление воздуха.
Для установления конкретного значения давления нужно будет также учесть изменение плотности воздуха при снижении давления, используя уравнение состояния газа. С учетом всех вычислений, можно прийти к заключению, что необходимое давление можно найдено через подмену в изначальном уравнении состояния.
После всех расчетов, вы получите приблизительное значение давления, по которому шарик начнет подниматься. Это решение наглядно показывает взаимосвязь между физическими свойствами газов и механикой в условиях, заданных задачей.
