Для решения задачи, давайте воспользуемся законом Бойля-Мариотта и соотношением давления, объема и температуры идеального газа. Мы будем искать минимальное давление, при котором металлический шарик оторвется от дна цилиндрической емкости с поршнем.
Дано:
- Температура воздуха ((T)) = 26 °C (преобразуем в Кельвины: (T = 26 + 273.15 = 299.15 , K))
- Молярная масса воздуха ((M)) = 29 г/моль = 0.029 кг/моль (приведем к кг для использования в расчетах)
- Радиус шарика ((r)) = 2 см = 0.02 м
- Масса шарика ((m)) = 1 кг
1. Вычислим объем шарика:
Объем полого металлического шарика можно найти по формуле объема сферы:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (0.02^3) \approx 3.35 \times 10^{-5} , m^3
]
2. Вычислим силу тяжести, действующую на шарик:
Сила тяжести ((F_g)):
[
F_g = m \cdot g = 1 , \text{кг} \cdot 9.81 , m/s^2 \approx 9.81 , N
]
3. Определим, какое давление необходимо, чтобы шарик оказался на плаву:
Шарик поднимается тогда, когда сила, действующая на него от воздуха, превышает его вес. Эта сила равна произведению давления ((P)) на площадь основания шарика ((S)):
[
S = \pi r^2 = \pi (0.02^2) \approx 1.26 \times 10^{-3} , m^2
]
Сила, действующая на шарик за счет давления:
[
F_P = P \cdot S
]
4. Условие равновесия:
Чтобы шарик начал подниматься, давление (P) должно быть таким, что:
[
F_P > F_g
]
Это можно записать в виде:
[
P \cdot S = F_g \Rightarrow P = \frac{F_g}{S}
]
Подставим известные значения:
[
P = \frac{9.81 , N}{1.26 \times 10^{-3} , m^2} \approx 7775.6 , Pa
]
5. Переведем давление в более привычные единицы — атмосферные:
1 атмосфера = 101325 Па. Таким образом:
[
P \approx \frac{7775.6}{101325} \approx 0.0767 , atm
]
Заключение:
Минимальное давление, при котором шарик оторвется от дна емкости, составляет приблизительно 7775.6 Па или 0.0767 атм.
Таким образом, при сжатии воздуха до этого давления, шарик начнет подниматься в цилиндрической ёмкости. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь по другим темам, не стесняйтесь обращаться!
