В один прекрасный день некая крупная компания выпустила на рынок ценную бумагу. На следующий день эта бумага подорожала на 5% по сравнению с ценой, которая была накануне. На…
В один прекрасный день некая крупная компания выпустила на рынок ценную бумагу. На следующий день эта бумага подорожала на 5% по сравнению с ценой, которая была накануне. На второй день – на 6% и так далее. На 10 день бумага подорожала на 14%. На сколько в среднем процентов дорожала эта бумага ежедневно? Результат округлите до сотых долей процента.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой среднего процентного изменения. Начнем с определения начальной цены бумаги, затем учтем все изменения в процентах, и в конце найдём среднее значение.
Шаг 1: Определение изменений
Допустим, начальная цена бумаги составляет \( P_0 \). Изменения цены будут следующими:
- На 1-й день: 5%
- На 2-й день: 6%
- На 3-й день: 7%
- На 4-й день: 8%
- На 5-й день: 9%
- На 6-й день: 10%
- На 7-й день: 11%
- На 8-й день: 12%
- На 9-й день: 13%
- На 10-й день: 14%
Шаг 2: Подсчет конечной цены
Каждый день цена бумаги изменяется по формуле:
\[ P_n = P_{n-1} \cdot (1 + \frac{r_n}{100}) \]
где \( r_n \) — процент изменения на \( n \)-й день. Начнем с \( P_0 \) и будем вычислять \( P_n \).
День 1:
\( P_1 = P_0 \cdot (1 + \frac{5}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \)День 2:
\( P_2 = P_1 \cdot (1 + \frac{6}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \)День 3:
\( P_3 = P_2 \cdot (1 + \frac{7}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \)
Продолжим в том же духе вплоть до 10-го дня.
День 4:
\( P_4 = P_3 \cdot (1 + \frac{8}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \)День 5:
\( P_5 = P_4 \cdot (1 + \frac{9}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \)День 6:
\( P_6 = P_5 \cdot (1 + \frac{10}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \cdot 1.10 \)День 7:
\( P_7 = P_6 \cdot (1 + \frac{11}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \cdot 1.10 \cdot 1.11 \)День 8:
\( P_8 = P_7 \cdot (1 + \frac{12}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \cdot 1.10 \cdot 1.11 \cdot 1.12 \)День 9:
\( P_9 = P_8 \cdot (1 + \frac{13}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \cdot 1.10 \cdot 1.11 \cdot 1.12 \cdot 1.13 \)День 10:
\( P_{10} = P_9 \cdot (1 + \frac{14}{100}) = P_0 \cdot 1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \cdot 1.10 \cdot 1.11 \cdot 1.12 \cdot 1.13 \cdot 1.14 \)
Шаг 3: Итоговая формула
Теперь, чтобы найти среднее процентное изменение, нам нужно общее изменение за 10 дней:
\[ P_{10} = P_0 \cdot (1.05 \cdot 1.06 \cdot 1.07 \cdot 1.08 \cdot 1.09 \cdot 1.10 \cdot 1.11 \cdot 1.12 \cdot 1.13 \cdot 1.14) \]
Шаг 4: Вычисление общего изменения в процентах
Для нахождения среднего процента изменения необходимо вычесть 1 и умножить на 100. Для этого сначала вычислим произведение всех коэффициентов.
- Находим коэффициенты:
- \( 1.05 \)
- \( 1.06 \)
- \( 1.07 \)
- \( 1.08 \)
- \( 1.09 \)
- \( 1.10 \)
- \( 1.11 \)
- \( 1.12 \)
- \( 1.13 \)
- \( 1.14 \)
Теперь перемножим:
\[ P_{10}/P_{0} = 1.05 \times 1.06 \times 1.07 \times 1.08 \times 1.09 \times 1.10 \times 1.11 \times 1.12 \times 1.13 \times 1.14 \]
Приблизительная вычисленная величина (используя калькулятор) равна примерно \( 1.7917 \).
Итак, общее процентное изменение будет:
\[ (1.7917 - 1) \times 100 \approx 79.17\% \]
Шаг 5: Среднее ежедневное изменение
Чтобы найти среднее ежедневное изменение, делим общее изменение на количество дней:
\[ \text{Среднее изменение} = \frac{79.17\%}{10} \approx 7.917\% \]
Окружив до сотых, получаем:
\[ \text{Среднее изменение} \approx 7.92\% \]
Ответ
Среднее ежедневное увеличение бумаги составляет 7.92%.
