Среди взрослых жителей города каждый четвёртый является клиентом банка АВС. Известно, что среди клиентов банка 45% женщины. Считая, что события «горожанин является клиентом банка…
Среди взрослых жителей города каждый четвёртый является клиентом банка АВС. Известно, что среди клиентов банка 45% женщины. Считая, что события «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы, найдите вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС.
Для решения этой задачи мы будем использовать базовые принципы теории вероятностей. Начнем с понимания данных, представленных в задаче.
Дано:
Каждый четвертый взрослый житель города является клиентом банка АВС. Это значит, что вероятность того, что случайный житель города является клиентом банка, равна: \[ P(Клиент) = \frac{1}{4} = 0.25 \]
Среди клиентов банка 45% женщины. Это означает, что вероятность того, что клиент банка – женщина, равна: \[ P(Женщина | Клиент) = 0.45 \]
События «горожанин является клиентом банка АВС» и «горожанин – женщина» независимы.
Шаг 1: Находим вероятность того, что случайный житель – мужчина.
Пусть \( P(Мужчина) \) – вероятность того, что случайный житель является мужчиной. Мы знаем, что:
\[ P(Женщина) = 1 - P(Мужчина) \]
Заметим, что если среди клиентов банка 45% женщины, значит, 55% — мужчины. Таким образом, мы можем написать:
\[ P(Мужчина | Клиент) = 1 - P(Женщина | Клиент) = 1 - 0.45 = 0.55 \]
Шаг 2: Находим вероятность того, что случайный житель является клиентом банка АВС и мужчиной.
Теперь мы можем воспользоваться формулой условной вероятности для нахождения вероятности того, что случайный житель — мужчина и также клиент банка:
\[ P(Клиент \cap Мужчина) = P(Клиент) \cdot P(Mужчина | Клиент) \]
Подставляем известные значения:
\[ P(Клиент \cap Мужчина) = P(Клиент) \cdot P(Mужчина | Клиент) = 0.25 \cdot 0.55 = 0.1375 \]
Шаг 3: Находим общую вероятность того, что случайный житель — мужчина.
Пусть \( P(Мужчина) \) — это общая вероятность того, что случайный житель — мужчина. Мы знаем, что вероятность того, что житель является клиентом банка (в любом случае) равна 0.25. Так что:
\[ P(Мужчина) = 1 - P(Женщина) = 1 - P(Женщина | Клиент) \cdot P(Клиент) - P(Женщина | Не Клиент) \cdot P(Не Клиент) \]
Однако, у нас нет данных о том, какая доля женщин среди не клиентов, поэтому мы примем предположение о том, что житель равен (1 - клиентам), что дает нам:
\[ P(Мужчина) = P(Клиент \cap Мужчина) + P(Не Клиент \cap Мужчина) \]
Шаг 4: Находим вероятность того, что случайный мужчина не является клиентом банка АВС.
Чтобы найти вероятность того, что мужчина не является клиентом банка, нам нужно использовать дополнение к вероятности.
Пусть \( P(Не Клиент | Мужчина) \) – это искомая вероятность:
\[ P(Не Клиент | Мужчина) = 1 - P(Клиент | Мужчина) \]
Где:
\[ P(Клиент | Мужчина) = \frac{P(Клиент \cap Мужчина)}{P(Мужчина)} \]
Для простоты давайте предположим, что 50% жителей — мужчины (так как половая структура может быть примерно равной), и мы будем использовать это в наших вычислениях. Если \( P(Мужчина) = 0.5 \).
Тогда:
\[ P(Клиент | Мужчина) = \frac{0.1375}{0.5} = 0.275 \]
Итак:
\[ P(Не Клиент | Мужчина) = 1 - 0.275 = 0.725 \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС, составляет 0.725 или 72.5%.
