Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
Каждый четвертый взрослый житель города является клиентом банка ABC. Это означает, что вероятность того, что случайно выбранный горожанин является клиентом банка, равна:
[
P(Клиент) = \frac{1}{4} = 0.25
]
Из клиентов банка 45% составляют женщины. Это значит, что:
[
P(Женщина | Клиент) = 0.45
]
Таким образом, вероятность того, что клиент банка — мужчина (обозначим это событие как (P(Мужчина | Клиент))), равна:
[
P(Мужчина | Клиент) = 1 - P(Женщина | Клиент) = 1 - 0.45 = 0.55
]
Нам нужно найти:
Вероятность того, что случайный мужчина из этого города не является клиентом банка ABC. Обозначим:
- (M) — мужчина,
- (N) — не является клиентом банка ABC.
Нам нужно найти (P(N | M)).
Шаг 1: Найдем (P(M))
Сначала найдем общую вероятность того, что человек — это мужчина, (P(M)). Так как мы знаем, что среди клиентов банка 45% — женщины, вероятно, примерно такое же распределение среди всех горожан. Предположим, что это распределение такое же, тогда:
[
P(Мужчина) = 1 - P(Женщина)
]
Однако, у нас нет точных данных о пропорции мужчин и женщин среди всех жителей, чтобы сделать точное предположение; мы можем использовать обобщенное представление. Предположим, что женщин и мужчин в городе примерно поровну:
[
P(Женщина) = 0.5 \quad \text{и} \quad P(Мужчина) = 0.5
]
Шаг 2: Найдем (P(Не Клиент | Мужчина))
Теперь используем правило условной вероятности:
[
P(Не Клиент | Мужчина) = 1 - P(Клиент | Мужчина)
]
Для нахождения (P(Клиент | Мужчина)) применяем формулу полной вероятности:
[
P(Клиент) = P(Клиент | Мужчина) \cdot P(Мужчина) + P(Клиент | Женщина) \cdot P(Женщина)
]
Зная, что:
- (P(Клиент | Женщина) = P(Клиент) \cdot P(Женщина | Клиент) = 0.25 \cdot 0.45 = 0.1125)
Подставим данные:
[
0.25 = P(Клиент | Мужчина) \cdot 0.5 + 0.1125 \cdot 0.5
]
Решим уравнение для (P(Клиент | Мужчина)):
[
0.25 = 0.5 \cdot P(Клиент | Мужчина) + 0.05625
]
[
0.25 - 0.05625 = 0.5 \cdot P(Клиент | Мужчина)
]
[
0.19375 = 0.5 \cdot P(Клиент | Мужчина)
]
[
P(Клиент | Мужчина) = 0.3875
]
Шаг 3: Найдем (P(Не Клиент | Мужчина))
Теперь можем найти вероятность, что мужчина не является клиентом банка:
[
P(Не Клиент | Мужчина) = 1 - P(Клиент | Мужчина) = 1 - 0.3875 = 0.6125
]
Ответ
Вероятность того, что случайно выбранный мужчина из этого города не является клиентом банка АВС, составляет:
[
\boxed{0.6125}
]
