От острова, расположенного в 5 км от пристани, отходит катер. До тех пор, пока катер на дойдёт к пристани, его расстояние до неё описывается формулой s(t)=5+8t-4t^2, где s-…

Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы понять, как катер движется и когда он был в видимости наблюдателя.

Данные:

• Расстояние от острова до пристани: 5 км
• Формула расстояния катера до пристани: \( s(t) = 5 + 8t - 4t^2 \)
• Зона видимости наблюдателя: 8 км

Шаг 1: Определим расстояние катера до пристани

Формула \( s(t) = 5 + 8t - 4t^2 \) описывает положение катера в километрах относительно пристани через время \( t \) в часах. Нам нужно найти, когда расстояние от катера до пристани будет меньше или равно 8 км.

Шаг 2: Найдем, когда катер покинет зону видимости

Нам нужно найти значения \( t \), при которых расстояние от катера до пристани \( s(t) \) меньше или равно 8, то есть мы решим неравенство: \[ s(t) \leq 8. \] Таким образом, подставим формулу: \[ 5 + 8t - 4t^2 \leq 8. \]

Шаг 3: Перепишем неравенство

Упростим неравенство: \[ 8t - 4t^2 \leq 3 \quad \text{(переносим все в одну часть)} \] \[ -4t^2 + 8t - 3 \leq 0. \] Умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства): \[ 4t^2 - 8t + 3 \geq 0. \]

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения

Для решения найдем корни уравнения \( 4t^2 - 8t + 3 = 0 \) с помощью формулы корней: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 4 \), \( b = -8 \), \( c = 3 \). Подставим значения: \[ t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8} = \frac{8 \pm 4}{8}. \] Таким образом, получаем два корня: \[ t_1 = \frac{12}{8} = 1.5 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{4}{8} = 0.5. \]

Шаг 5: Определим промежуток времени

Теперь нам нужно определить промежутки времени, когда неравенство \( 4t^2 - 8t + 3 \geq 0 \) выполняется. Корни делят числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty, 0.5) \)
2. \( (0.5, 1.5) \)
3. \( (1.5, +\infty) \)

Поскольку у нас квадратичное уравнение с положительным коэффициентом перед \( t^2 \), оно стремится к +∞ на концах. Поэтому оно будет меньше нуля на интервале \( (0.5, 1.5) \).

Шаг 6: Вывод общего времени в видимости

Следовательно, катер будет в зоне видимости наблюдателя от времени 0.5 ч до 1.5 ч: \[ t_{\text{видимости}} = 1.5 - 0.5 = 1 \text{ час}. \]

Ответ

Время, в течение которого катер будет находиться в видимости наблюдателя, составляет 1 час.