Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним, как устроена геометрическая прогрессия.
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на одинаковый коэффициент, называемый знаменателем прогрессии (q).
Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}
]
где:
- ( b_n ) — n-й член прогрессии,
- ( b_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии,
- ( n ) — порядок члена.
В данной задаче нам известны значения:
- ( b_5 = \frac{1}{162} ) (пятый член прогрессии),
- ( q = \frac{1}{2} ).
Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для пятого члена:
[
b_5 = b_1 \cdot q^{(5-1)} = b_1 \cdot q^4
]
Поскольку ( q = \frac{1}{2} ), мы можем вычислить ( q^4 ):
[
q^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}
]
Теперь подставляем это значение в формулу:
[
\frac{1}{162} = b_1 \cdot \frac{1}{16}
]
Теперь, чтобы найти ( b_1 ), умножим обе стороны уравнения на 16:
[
b_1 = \frac{1}{162} \cdot 16
]
Чтобы упростить это вычисление, найдем результат:
[
b_1 = \frac{16}{162} = \frac{8}{81} \quad (\text{разделили числитель и знаменатель на 2})
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен:
[
b_1 = \frac{8}{81}
]
Итак, мы нашли первый член прогрессии. Объяснение каждого шага показывает, как мы применили формулу для нахождения члена геометрической прогрессии и использовали известные значения для решения задачи.
