Задание 10. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда…
Задание 10. В портфеле акционера Б. могут быть акции ценой 100, 200, 300, 400 и 500 р. Акционер подсчитал и выяснил, что средняя цена его акции равна 333 рубля с копейками. Тогда Б. купил ещё одну акцию за 500 р, но средняя цена его акций всё равно не достигла 350 р. Какое наименьшее количество акций могло быть у Б. до покупки последней акции?
Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить, сколько акций было у акционера Б. до покупки последней акции, основываясь на средней цене акций.
Известные данные:
- Цены акций: 100, 200, 300, 400 и 500 рублей.
- Средняя цена до покупки последней акции: 333 рубля.
- Цена купленной последней акции: 500 рублей.
- Средняя цена после покупки не достигла 350 рублей.
Обозначим количество акций до покупки как \( n \).
Расчёт общей стоимости акций до покупки: Средняя цена акций рассчитывается по формуле: \[ \text{Средняя цена} = \frac{\text{Сумма цен акций}}{\text{Количество акций}} \] Подставив известные значения, получаем: \[ 333 = \frac{S_n}{n} \] откуда следует, что: \[ S_n = 333n \] где \( S_n \) — сумма цен акций до покупки.
Общая сумма после покупки: После покупки ещё одной акции за 500 рублей сумма станет равной: \[ S_{n+1} = 333n + 500 \] общее количество акций теперь \( n + 1 \).
Расчёт средней цены после покупки: Средняя цена акций после покупки определяется как: \[ \text{Средняя цена после покупки} = \frac{333n + 500}{n + 1} \]
Согласно условию задачи, эта средняя цена не достигла 350 рублей: \[ \frac{333n + 500}{n + 1} < 350 \]
Преобразуем неравенство: Умножим обе стороны на \( n + 1 \) (это положительное число, так как \( n \) — количество акций): \[ 333n + 500 < 350(n + 1) \] Раскроем скобки: \[ 333n + 500 < 350n + 350 \] Переносим все члены с \( n \) в одну сторону: \[ 500 - 350 < 350n - 333n \] Упрощая, получаем: \[ 150 < 17n \] Отсюда следует: \[ n > \frac{150}{17} \approx 8.82 \] Значит, минимальное целое значение \( n \) равно 9.
Проверка условия: Если у акционера Б. было 9 акций:
- Сумма цен до покупки: \( S_9 = 333 \times 9 = 2997 \).
- После покупки: \( S_{10} = 2997 + 500 = 3497 \).
- Средняя цена после покупки: \[ \frac{3497}{10} = 349.7, \] которая действительно меньше 350.
Ответ: Таким образом, наименьшее количество акций, которое могло быть у акционера Б. до покупки последней акции, равно 9.
