Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Давайте разберем поставленную задачу шаг за шагом.
Понимание задачи
Мы знаем, что зависимость поступления налогов (Y) от налоговой ставки (X) является квадратичной функцией. Квадратичная функция имеет вид: \[ Y = aX^2 + bX + c \] где \(a\), \(b\) и \(c\) — это некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.
Данные
У нас есть следующие данные:
- При \(X = 10\%\) (0,1 в десятичной форме) \(Y = 1,3\) млрд фантиков.
- При \(X = 33\%\) (0,33 в десятичной форме) \(Y = 1,3\) млрд фантиков.
- При \(X = 27\%\) (0,27 в десятичной форме) \(Y = 1,6\) млрд фантиков.
Составление системы уравнений
Теперь мы можем составить систему уравнений:
Для \(X = 0,1\): \[ a(0,1)^2 + b(0,1) + c = 1,3 \] Упрощаем: \[ 0,01a + 0,1b + c = 1,3 \quad (1) \]
Для \(X = 0,33\): \[ a(0,33)^2 + b(0,33) + c = 1,3 \] Упрощаем: \[ 0,1089a + 0,33b + c = 1,3 \quad (2) \]
Для \(X = 0,27\): \[ a(0,27)^2 + b(0,27) + c = 1,6 \] Упрощаем: \[ 0,0729a + 0,27b + c = 1,6 \quad (3) \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (\(a\), \(b\), \(c\)). Мы можем выразить \(c\) из уравнения (1) и подставить его в (2) и (3).
Решение системы
Из уравнения (1): \[ c = 1,3 - 0,01a - 0,1b \quad (4) \]
Подставим \(c\) из (4) в (2): \[ 0,1089a + 0,33b + (1,3 - 0,01a - 0,1b) = 1,3 \] Упрощаем: \[ 0,1089a + 0,33b - 0,01a - 0,1b = 0 \] \[ 0,0989a + 0,23b = 0 \quad (5) \]
Теперь подставим \(c\) из (4) в (3): \[ 0,0729a + 0,27b + (1,3 - 0,01a - 0,1b) = 1,6 \] Упрощаем: \[ 0,0729a + 0,27b - 0,01a - 0,1b = 0,3 \] \[ 0,0629a + 0,17b = 0,3 \quad (6) \]
Теперь у нас есть новая система из двух уравнений (5) и (6):
- \(0,0989a + 0,23b = 0\)
- \(0,0629a + 0,17b = 0,3\)
Из уравнения (5) выразим \(b\): \[ b = -\frac{0,0989a}{0,23} \]
Подставим это значение в уравнение (6): \[ 0,0629a + 0,17\left(-\frac{0,0989a}{0,23}\right) = 0,3 \]
Решая это уравнение, мы получим значения для \(a\) и \(b\). После нахождения \(a\) и \(b\) подставим их обратно в уравнение (4) для нахождения \(c\).
Нахождение максимума
Квадратичная функция \(Y = ax^2 + bx + c\) имеет максимум (если \(a < 0\)) в точке: \[ X_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Используя найденные значения параметров \(a\) и \(b\), мы подставляем их в это уравнение, чтобы найти оптимальную ставку налога \(X_{max}\).
Результат
Когда вы найдете значения \(a\) и \(b\), вы сможете определить \(X_{max}\) и тем самым узнать, какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведет к максимальным поступлениям в бюджет.
Если вам нужно продолжать с конкретными значениями, дайте знать, я помогу в расчетах!
