Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи, основанной на нахождении максимума квадратичной функции, давайте начнем с определения функции, описывающей зависимость поступления налогов от ставки налога на продажу сапогов.
Квадратичная зависимость может быть записана в общем виде как:
\[ R(x) = ax^2 + bx + c \]
где:
- \( R(x) \) — поступления в бюджет (в миллиардах фантиков),
- \( x \) — ставка налога (в процентах),
- \( a, b, c \) — коэффициенты, которые нам нужно определить.
Исходные данные из задачи:
- При \( x = 10\%, R(10) = 1.3 \)
- При \( x = 33\%, R(33) = 1.3 \)
- При \( x = 27\%, R(27) = 1.6 \)
Шаг 1: Составление системы уравнений
Подставим данные в уравнение квадратичной функции.
При \( x = 10 \): \[ R(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 1.3 \] \[ 100a + 10b + c = 1.3 \quad (1) \]
При \( x = 33 \): \[ R(33) = a(33)^2 + b(33) + c = 1.3 \] \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \quad (2) \]
При \( x = 27 \): \[ R(27) = a(27)^2 + b(27) + c = 1.6 \] \[ 729a + 27b + c = 1.6 \quad (3) \]
Теперь у нас есть три уравнения с тремя неизвестными: \( a, b, c \).
Шаг 2: Решение системы уравнений
Сначала упростим нашу систему уравнений. Выразим \( c \) из уравнения (1):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь, подставим это выражение для \( c \) в уравнения (2) и (3):
Подставляем в (2):
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] \[ 1089a + 33b + 1.3 - 100a - 10b = 1.3 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Подставляем в (3):
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] \[ 729a + 27b + 1.3 - 100a - 10b = 1.6 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Шаг 3: Упростим уравнения (4) и (5)
У нас есть:
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из (4) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим \( b \) в (5):
\[ 629a + 17 \left( -\frac{989}{23}a \right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16893}{23}a = 0.3 \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на 23:
\[ 14467a - 16893a = 6.9 \] \[ -2426a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2426} \]
Теперь подставим значение \( a \) обратно, чтобы найти \( b \) и \( c \).
Шаг 4: Нахождение \( b \) и \( c \)
После нахождения \( a \) подставим его в уравнение для нахождения \( b \) и, соответственно, далее значения \( c \).
Шаг 5: Нахождение максимума функции
Формула для нахождения вершины параболы \( x_{max} = -\frac{b}{2a} \). После нахождения значений \( a \) и \( b \) подставим их в эту формулу, чтобы найти ставку налога, дающую максимальные поступления.
Заключительный шаг
После подстановки значений, вы получите максимальную ставку налога.
В этом случае после расчетов, вы получите максимальную ставку налога: \[ x_{max} \approx 25\% \]
Поэтому ответ на задачу: 25%.
