В треугольнике  Z W K ZWK  ∠ W = 69 ° ∠W=69°,  ∠ Z = 54 ° ∠Z=54°. Биссектрисы  K F KF и  Z D ZD пересекаются в точке  P P. Чему равен  ∠ Z P F ∠ZPF?

Чтобы найти угол ∠ZPF в треугольнике WZK, давайте сначала определим все углы треугольника и используем свойства биссектрис. 1. **Нахождение третьего угла треугольника**: Мы знаем два угла треугольника: - ∠W = 69° - ∠Z = 54° Для нахождения угла ∠K в треугольнике WZK воспользуемся тем фактом, что сумма углов в треугольнике равна 180°: \[ ∠K = 180° - ∠W - ∠Z \] Подставляем известные значения: \[ ∠K = 180° - 69° - 54° = 180° - 123° = 57° \] 2. **Свойства биссектрис**: Биссектрисы углов разбивают эти углы на две равные части. Таким образом, угол ∠Z (54°) будет разделён биссектрисой ZD на два угла, каждый из которых равен: \[ ∠ZDK = \frac{∠Z}{2} = \frac{54°}{2} = 27° \] Аналогично, угол ∠K (57°) будет разделён биссектрисой KF: \[ ∠KFP = \frac{∠K}{2} = \frac{57°}{2} = 28.5° \] 3. **Нахождение угла ∠ZPF**: Теперь мы можем найти угол ∠ZPF. Этот угол является внешним углом для треугольника PKF. По теореме о внешнем угле, внешний угол равен сумме двух внутренних несоседних углов: \[ ∠ZPF = ∠ZDK + ∠KFP \] Подставляем значения: \[ ∠ZPF = 27° + 28.5° = 55.5° \] Таким образом, угол ∠ZPF равен **55.5°**.