y=-x²+2x-1

Давайте разберем уравнение \( y = -x^2 + 2x - 1 \) и подробно объясним, что оно представляет и как можно его анализировать.

Шаг 1: Определение типа функции

Данное уравнение является квадратичной функцией. Общая форма квадратичной функции — это \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a \), \( b \), и \( c \) — это коэффициенты. В нашем случае:
• \( a = -1 \)
• \( b = 2 \)
• \( c = -1 \)

Шаг 2: Определение направления параболы

Значение коэффициента \( a \) определяет, направлена ли парабола вверх или вниз:

• Если \( a > 0 \), парабола направлена вверх.
• Если \( a < 0 \), парабола направлена вниз.

В нашем уравнении \( a = -1 \), поэтому парабола направлена вниз.

Шаг 3: Найдем вершину параболы

Вершина параболы имеет координаты \( (x_v, y_v) \), которые можно найти по формуле:

• \( x_v = -\frac{b}{2a} \)

Подставим наши значения: \[ x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь осталось подставить \( x_v \) обратно в уравнение, чтобы найти \( y_v \): \[ y_v = -1^2 + 2 \cdot 1 - 1 \] \[ y_v = -1 + 2 - 1 = 0 \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (1, 0) \).

Шаг 4: Найдем корни уравнения

Корни уравнения — это точки, в которых график функции пересекает ось \( x \). Мы можем найти их, решив уравнение \( -x^2 + 2x - 1 = 0 \).

Используем формулу для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим наши значения:

• \( a = -1 \)
• \( b = 2 \)
• \( c = -1 \)

Посчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-1) = 4 - 4 = 0 \]

Поскольку дискриминант равен нулю, у нас есть один корень: \[ x = \frac{-2 \pm 0}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1 \]

Это означает, что у уравнения есть один двойной корень в точке \( x = 1 \).

Шаг 5: Нахождение значений \( y \)

Теперь мы можем построить график функции. Мы уже знаем, что вершина параболы находится в \( (1, 0) \), и у нас есть корень в \( x = 1 \). Теперь давайте отметим еще несколько значений для построения графика, например, для \( x = 0 \) и \( x = 2 \):

1. \( x = 0 \): \[ y = -0^2 + 2 \cdot 0 - 1 = -1 \] Точка: \( (0, -1) \)

2. \( x = 2 \): \[ y = -2^2 + 2 \cdot 2 - 1 = -4 + 4 - 1 = -1 \] Точка: \( (2, -1) \)

Итог

Мы получили следующие точки:

• Вершина: \( (1, 0) \)
• Корни: \( (1, 0) \)
• Дополнительные точки: \( (0, -1) \) и \( (2, -1) \)

С учетом этих данных, можно построить график функции, который будет иметь вид перевернутой параболы, имеющей вершину в точке \( (1, 0) \) и пересекающей ось \( y \) в точке \( (0, -1) \).

Таким образом, мы подробно разобрали уравнение \( y = -x^2 + 2x - 1 \). Если есть еще вопросы или нужно что-то объяснить подробнее, пожалуйста, дайте знать!