lim(4n-3/6n+7)^2

Чтобы найти предел выражения \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4n - 3}{6n + 7}\right)^2\), давай разобьем решение на шаги:

Шаг 1: Определение предела внутренней дроби

Сначала найдем предел \(\frac{4n - 3}{6n + 7}\), когда \(n\) стремится к бесконечности.

Шаг 2: Делим числитель и знаменатель на \(n\)

Для анализа поведения дроби при \(n \to \infty\), мы можем разделить числитель и знаменатель на \(n\): \[ \frac{4n - 3}{6n + 7} = \frac{4 - \frac{3}{n}}{6 + \frac{7}{n}} \]

Шаг 3: Найдем предел

Теперь, когда \(n\) стремится к бесконечности, \(\frac{3}{n}\) и \(\frac{7}{n}\) стремятся к нулю: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{n}}{6 + \frac{7}{n}} = \frac{4 - 0}{6 + 0} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Шаг 4: Подставляем результат в предел

Теперь мы можем подставить найденный предел в изначальное выражение: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4n - 3}{6n + 7}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]

Шаг 5: Вычисляем квадрат

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \]

Ответ

Таким образом, предел исходного выражения равен: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4n - 3}{6n + 7}\right)^2 = \frac{4}{9} \]