Для решения задачи о колебаниях маятника воспользуемся формулой для периода колебаний маятника:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
где ( T ) — период колебаний, ( m ) — масса груза, ( k ) — жесткость пружины.
Дано следующее:
- Жесткость пружины уменьшилась в 10 раз: ( k' = \frac{k}{10} ).
- Масса груза увеличилась на 200 г: ( m' = m + 0.2 ) (где 0.2 — это 200 г в килограммах, так как в формуле масса выражается в килограммах).
- Период колебаний увеличился в 4 раза: ( T' = 4T ).
Теперь подставим изменения в формулу для нового периода:
[
T' = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m + 0.2}{\frac{k}{10}}} = 2\pi \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}}
]
Знаем, что ( T' = 4T ), следовательно:
[
4T = 2\pi \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}}
]
Теперь подставим исходный период ( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} ):
[
4 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}}
]
Упростим уравнение, сократив ( 2\pi ):
[
4 \sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}}
]
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:
[
16 \cdot \frac{m}{k} = \frac{10(m + 0.2)}{k}
]
Умножим обе стороны на ( k ) (при условии, что ( k \neq 0 )):
[
16m = 10(m + 0.2)
]
Раскроем скобки:
[
16m = 10m + 2
]
Переносим все слагаемые, содержащие ( m ), в одну сторону:
[
16m - 10m = 2
]
Получаем:
[
6m = 2
]
Теперь решим для ( m ):
[
m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ кг} \approx 0.333 \text{ кг}
]
Таким образом, первоначальная масса груза составляет ( \frac{1}{3} ) кг или 333 г.
