При уменьшении жесткости пружины маятника в 10 раз, и увеличении массы груза на 200 г. период колебаний маятника увеличился в 4 раза. Какова первоначальная масса груза?
Для решения задачи о колебаниях маятника воспользуемся формулой для периода колебаний маятника:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где \( T \) — период колебаний, \( m \) — масса груза, \( k \) — жесткость пружины.
Дано следующее:
- Жесткость пружины уменьшилась в 10 раз: \( k' = \frac{k}{10} \).
- Масса груза увеличилась на 200 г: \( m' = m + 0.2 \) (где 0.2 — это 200 г в килограммах, так как в формуле масса выражается в килограммах).
- Период колебаний увеличился в 4 раза: \( T' = 4T \).
Теперь подставим изменения в формулу для нового периода:
\[ T' = 2\pi \sqrt{\frac{m'}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m + 0.2}{\frac{k}{10}}} = 2\pi \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}} \]
Знаем, что \( T' = 4T \), следовательно:
\[ 4T = 2\pi \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}} \]
Теперь подставим исходный период \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \):
\[ 4 \cdot 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}} \]
Упростим уравнение, сократив \( 2\pi \):
\[ 4 \sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{\frac{10(m + 0.2)}{k}} \]
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:
\[ 16 \cdot \frac{m}{k} = \frac{10(m + 0.2)}{k} \]
Умножим обе стороны на \( k \) (при условии, что \( k \neq 0 \)):
\[ 16m = 10(m + 0.2) \]
Раскроем скобки:
\[ 16m = 10m + 2 \]
Переносим все слагаемые, содержащие \( m \), в одну сторону:
\[ 16m - 10m = 2 \]
Получаем:
\[ 6m = 2 \]
Теперь решим для \( m \):
\[ m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ кг} \approx 0.333 \text{ кг} \]
Таким образом, первоначальная масса груза составляет \( \frac{1}{3} \) кг или 333 г.
